Respuestas consultorio 15-09-15

Pregunta:  Hola, tengo un problema acerca de un triángulo. Me dan las coordenadas de sus dos vértices A(2,2) B(10,8) y el área del triángulo ABC, 25. Pero me piden el tercer vértice C. He intentado con sistemas de ecuaciones pero no me resulta. Agradecería su ayuda por favor. De antemano, el resultado es (9,1) o (3,9).

Respuesta:

Creo que la mejor forma de abordar la cuestión es utilizar el producto vectorial. Dados dos vectores \overline{u} y \overline{v} del espacio euclídeo \mathbb{R}^3,  su producto vectorial es un nuevo vector \overline{w} = \overline{u} \times \overline{v} que tiene por módulo

|\overline{u} \times \overline{v}|= |\overline{u}| |\overline{v}| \sin{\alpha},

donde \alpha es el ángulo que forman ambos vectores. La dirección de \overline{w} es perpendicular al plano que determinan \overline{u} y \overline{v} y su sentido se obtiene mediante la llamada “regla del sacacorchos” que nos dice que se avanza del primer vector \overline{u} al segundo \overline{v} como si se tratara del giro de un sacacorchos. Según “suba” o “baje” se consigue el sentido buscado.

Aquí vamos a utilizar vectores del plano pero esto no supone mayor problema pues podemos suponer que son vectores del espacio \mathbb{R}^3 con su tercera componente nula. La clave de la cuestión es que gracias al módulo del producto vectorial vamos a poner en relación las coordenadas de los vértices con el área del triángulo. La siguiente figura nos muestra de una manera sencilla cómo hacerlo
Documento escaneado
El área del triángulo es
A_t = |\overline{AB}| h / 2
Esto es, base por altura partido por 2. En este caso, la base es el módulo del vector \overline{AB} y la altura se obtiene mediante
\sin \alpha = \frac{h}{|\overline{AC}|}.
Por tanto, tenemos que el área es
A_T = \frac{|\overline{AB}| |\overline{AC}| \sin \alpha }{2} = \frac{|\overline{AB} \times \overline{AC}|}{2}
Pero , ¿cómo hallar el producto vectorial? Basta utilizar el cálculo de determinantes (vamos a prescindir de la línea encima de los vectores para simplificar la escritura). Así tenemos que si u=(x,y,z), v=(r,s,t), entonces llamando i,j,k a los vectores unitarios del espacio euclídeo \mathbb{R}^3, tenemos
u \times v = \left\| \begin{bmatrix}  i & j & k \\  x & y & z \\  r & s & t  \end{bmatrix} \right\| = i (yt-sz)-j(xt-rz)+k(xs-ry).
En nuestro caso va a resultar mucho más sencillo pues la tercera componente de ambos vectores es cero
AB \times AC = \left\| \begin{bmatrix}  i & j & k \\  8 & 6 & 0 \\  x-2 & y-2 & 0  \end{bmatrix} \right\| = k(8(y-2)-6(x-2)).
El módulo de este vector es
|AB \times AC| = |k(8(y-2)-6(x-2))| = |8y-16-6x+12| = |8y-6x-4|.
Por tanto si A_T = 25, entonces
2 \cdot 25 = |8y-6x-4|.
Como ves tenemos la ecuación de dos rectas correspondientes a las opciones del valor absoluto:

8y-6x- 54 = 0,

-8y+6x-46 = 0.

Esto era de esperar pues el vértice C puede hallarse “arriba” o “abajo” del lado AB sin que cambie el valor del área. Al sustituir los puntos que me das, vemos que (3,9) pertenece a la primera recta y (9,1) a la segunda. Es decir, ambos son soluciones.  Sin embargo, esta no es la mejor aproximación al problema. En el primer comentario de esta entrada está la solución desde un punto de vista más simple y completo. Una solución debida a Ignacio Larrosa y que recomiendo que leas.

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2 comentarios en “Respuestas consultorio 15-09-15

  1. En realidad el conjunto solución de los vértices C del triángulo está formado por dos rectas paralelas al lado AB y a una distancia de este de 5 unidades, dado que su longitud es 10 y el área debe ser 25. Los puntos (3, 9) y (9, 1) son entonces ambos solución, con la particularidad de que en este caso el triángulo es rectángulo e isósceles.

    Para hallar las ecuacoiones de las dos rectas solución, hallamos la ecuación general de la recta r_{AB}:

    r_{AB}: (x – 2)/(10 – 2) = (y – 2)/(8 – 2) ===> 3x – 6 = 4y – 8

    r_{AB}: 3x – 4y + 2 = 0

    Las rectas s paralelas tendran como ecuación 3x – 4y + D = 0, y la distancia con r_{AB} es

    5 = |D – 2|/rq(3^2 + 4^2) = |D – 2|/5 ===> |D – 2| = 25 ===> D = 2 +/- 25

    Tenemos asi las dos rectas solución:

    s_1: 3x – 4y + 27 = 0
    s_2: 3x – 4y – 23 = 0

    El punto (3, 9) está en la primera y el (9, 1) en la segunda.

    Ver http://ggbtu.be/m1622941

    Nota: Utilizo rq para indicar la raíz cuadrada. ¿Cómo puede utilizarse el LaTeX?

    • Muchas gracias por las indicaciones. También pensaba que existían dos soluciones pues por simple simetría habrían de existir dos rectas y pensaba modificar el procedimiento para obtenerlas. En cuanto a cómo escribir en LaTeX basta con abrir la sentencia con $latex y cerrarla con $. Por ejemplo \sqrt{x}.

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