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Dominios de funciones reales de variable real

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Recordemos que una función real de variable real es aquella que a cada elemento de un determinado subconjunto no vacío de los reales le hace corresponder un único número real a través de una regla precisa. En general, las reglas se obtienen mediante operaciones y si no tenemos una indicación previa, consideramos como dominio o conjunto de partida al mayor subconjunto para el que tales operaciones con sus elementos dan lugar a números reales. Esto se conoce como la regla del máximo dominio.  A continuación vamos a dar algunos ejemplos de cómo emplear esta regla.

Sea la función si es racional y si es irracional. Observamos que está bien definida pues todo número real es o bien racional o bien irracional. Así, por ejemplo, pues es racional, mientras que pues es irracional. El único problema que se nos puede presentar es la división por cero pero esto no va a tener lugar pues al ser racional, la regla que le aplicamos es la identidad y, en consecuencia, el dominio de es toda la recta real.

Sea ahora la función si es irracional y si es racional. En este caso, aplicando el mismo razonamiento que para vemos con facilidad que el máximo dominio es el conjunto , pues debemos evitar la división por cero.

Consideremos si un racional del intervalo y  si no pertenece al intervalo . Este caso precisa de un análisis más detallado. En primer lugar, buscaremos la solución de la inecuación

,

pues al utilizar una raíz de índice par debemos exigir que el radicando sea positivo o nulo para obtener números reales.  Descomponemos en factores

.

Por tanto, tenemos que ver el signo del producto de factores en los intervalos , , , . La siguiente tabla nos aclara el proceso

Así pues, tenemos como solución de la inecuación

.

Ahora bien, la regla que define en este caso nos exige que sólo consideremos los racionales del intervalo .  Por tanto, el dominio de es

.

Lo que viene a ser el conjunto de todos los número reales que están fuera del intervalo junto con los racionales que estén dentro de dicho intervalo.

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