Dominios de funciones reales de variable real

Recordemos que una función real de variable real es aquella que a cada elemento de un determinado subconjunto no vacío de los reales le hace corresponder un único número real a través de una regla precisa. En general, las reglas se obtienen mediante operaciones y si no tenemos una indicación previa, consideramos como dominio o conjunto de partida al mayor subconjunto para el que tales operaciones con sus elementos dan lugar a números reales. Esto se conoce como la regla del máximo dominio.  A continuación vamos a dar algunos ejemplos de cómo emplear esta regla.

Sea la función f(x) = x si x es racional y f(x) = \frac{1}{x} si x es irracional. Observamos que está bien definida pues todo número real es o bien racional o bien irracional. Así, por ejemplo, f(0)= 0 pues 0 es racional, mientras que f(\sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} pues \sqrt{3} es irracional. El único problema que se nos puede presentar es la división por cero pero esto no va a tener lugar pues al ser 0 racional, la regla que le aplicamos es la identidad y, en consecuencia, el dominio de f es toda la recta real.

Sea ahora la función g(x) =x si x es irracional y g(x) = \frac{1}{x} si x es racional. En este caso, aplicando el mismo razonamiento que para f vemos con facilidad que el máximo dominio es el conjunto (-\infty, 0) \cup (0, \infty), pues debemos evitar la división por cero.

Consideremos h(x) = \sqrt[4]{x-x^3} si x un racional del intervalo (0,1) y h(x) = 0 si x no pertenece al intervalo (0,1). Este caso precisa de un análisis más detallado. En primer lugar, buscaremos la solución de la inecuación

x-x^3 \geq 0,

pues al utilizar una raíz de índice par debemos exigir que el radicando sea positivo o nulo para obtener números reales.  Descomponemos en factores

x(1-x^2) \geq 0

x(1-x)(1+x) \geq 0.

Por tanto, tenemos que ver el signo del producto de factores en los intervalos (-\infty,-1), (-1,0), (0,1), (1, \infty). La siguiente tabla nos aclara el proceso

tabla1

Así pues, tenemos como solución de la inecuación

(-\infty,-1] \cup [0,1].

Ahora bien, la regla que define h en este caso nos exige que sólo consideremos los racionales del intervalo (0,1).  Por tanto, el dominio de h es

(-\infty,0] \cup [1, \infty) \cup (\mathbb{Q} \cap (0,1)).

Lo que viene a ser el conjunto de todos los número reales que están fuera del intervalo (0,1) junto con los racionales que estén dentro de dicho intervalo.

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