El teorema de la altura y su aplicación para dibujar algunos segmentos de longitud irracional

Sabemos que existen números reales que no son racionales. Es decir, números reales que no son expresables en la forma \frac{a}{b} con  a,b \in \mathbb{Z} y b \neq 0. En terminología clásica esto viene a decir que existen segmentos inconmensurables respecto a una unidad dada. Para denotar el conjunto de los números irracionales suele escribirse

\mathbb{R}- \mathbb{Q}

pues la notación \mathbb{I} no es conveniente al no tener el conjunto de tales racionales una estructura algebraica.

Una operación que da lugar “frecuentemente” a números irracionales es la radicación. En particular, sabemos que

Teorema 1: Si n  es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces n^{1/2} es un número irracional.

La demostración de este teorema no es difícil pero exige el conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y ciertas propiedades de las ecuaciones. No lo haremos aquí pues no es nuestro objetivo pero prometo hacerlo en otra entrada. Así pues, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \ldots son números irracionales y como son números reales pueden asignarse a puntos de una recta con origen y unidad dados. Ahora bien, ¿cómo podemos representar tales puntos con regla y compás? Pues existen varias técnicas que usan las propiedades de los triángulos rectángulos. Nosotros vamos a utilizar la propiedad llamada teorema de la altura.

Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional de los catetos.

Vamos a demostrar esta afirmación y para ello utilizaremos las nociones de semejanza y un pequeño dibujo.

teoremaaltura

El triángulo ABC es rectángulo. La altura que se traza sobre la hipotenusa BD tiene longitud h y las proyecciones de los catetos son los segmentos AD y DC de longitudes m y n, respectivamente. Primero probaremos que los triángulos ABD y CBD son rectángulos y semejantes. En efecto, comparten un lado (BD) y tienen los mismos ángulos. Para demostrar esta afirmación, tomamos el triángulo ABC y observamos que el ángulo A es igual a 90-C (pues B es recto y A+B+C = 180). Es decir, en el triángulo ABD el ángulo A es 90-C. Mientras que en el triángulo CBD el ángulo \beta también ha de ser igual a 90-C. Esto prueba que los ángulos correspondientes son iguales. Utilizando la semejanza tenemos que

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}.

Esto es, la altura es media proporcional de las proyecciones m y n. Simplificando

h^2 = mn.

Esta última expresión es la que nos va a servir para la representación de números irracionales del tipo expuesto anteriormente. Así, podemos representar con facilidad \sqrt{6} pues podemos escribir

h^2=6=2 \cdot 3,

h = \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}.

Lo que nos permite dibujar una circunferencia de diámetro 5=2+3 y obtener la altura \sqrt{6} como muestra el dibujo siguiente:

teoremaaltura2

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