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Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

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Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea una sucesión de partes de un conjunto dado , decimos que es creciente si

, .

Si verifica

, ,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

el límite de la sucesión creciente y

el límite de la sucesión decreciente. Sea un anillo y un contenido en dicho anillo. Decimos que es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente de elementos del anillo tal que , se cumple que .

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente de elementos del anillo tal que para algún es y , se cumple que .

(iii) -continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea un anillo y sea un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) es -aditiva.
(b) es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite pertenece al anillo. Si para algún es , entonces el carácter monótono de nos lleva a afirmar que
para todo ,
.
En consecuencia,
,
.
Es decir, .
Si suponemos que para todo , entonces podemos considerar la sucesión
, .
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
, para todo ,
.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (, para y ) y la aditividad numerable para obtener
.
En conclusión es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora , elementos de , disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
.
Es evidente que los elementos de pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
.
Esto prueba que es una premedida y termina la demostración.

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