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Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

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Consideremos un semianillo  y sea  una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si son elementos de , disjuntos y con , entonces podemos formar una sucesión de elementos del semianillo mediante:

.

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

.

Aplicando la aditividad numerable resulta

.

Por tanto, toda premedida en un anillo es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea un anillo y sea un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) es -aditiva.

(b) es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que es -aditiva y sea una sucesión de elementos del anillo , definimos una nueva sucesión mediante

.

Como es un anillo, la sucesión está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

,  ,

.

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

.

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b)  implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

.

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

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