Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

Consideremos un semianillo \mathcal{A} y sea \mu una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si A,B son elementos de \mathcal{A}, disjuntos y con A \cup B \in \mathcal{A}, entonces podemos formar una sucesión B_n de elementos del semianillo mediante:

B_1 = A, B_2=B, B_n = \emptyset, n \geq 3.

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = A \cup B.

Aplicando la aditividad numerable resulta

\mu(A \cup B) =\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \mu(A)+\mu(B).

Por tanto, toda premedida en un anillo es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) \mu es \sigma-aditiva.

(b) \mu es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que \mu es \sigma-aditiva y sea (A_n) una sucesión de elementos del anillo \mathcal{R}, definimos una nueva sucesión mediante

B_1 = A_1, B_n = A_n - \cup_{h=1}^{n-1} A_k, n \geq 2.

Como \mathcal{R} es un anillo, la sucesión (B_n) está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

B_n \subset A_n, ,  n=1,2, \ldots,

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

\mu (\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) \leq \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b)  implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

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