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Lectura 3. Más propiedades

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Hemos visto en la lectura anterior que todo contenido sobre al menos un semianillo es monótono y finitamente subaditivo.  También hemos visto que si los contenidos se establecen sobre los anillos las demostraciones son más simples y aparecen algunas propiedades más. En muchos textos se parte de esta idea. Por ejemplo,  si es un anillo, se dice que una función es una medida finita si:

(i) .

(ii) Para todos de , disjuntos, es .

Es fácil probar que en este caso medida finita y contenido son equivalentes.  En efecto, si son elementos de , disjuntos dos a dos, entonces si suponemos que para con es

,

resultará

.

Así por inducción concluimos la aditividad finita. Obsérvese que todos los elementos considerados y sus uniones pertenecen al anillo . Esto también es esencial en la demostración de la siguiente propiedad.

Sea un anillo y sea una medida finita sobre dicho anillo. Para cualquier sucesión de disjuntos dos a dos tales que tenemos que

.

Demostración. Sabemos que toda medida aditiva (contenido en este caso) es finitamente aditiva y  monótona por lo que de

se sigue que

.

Llevando al límite la desigualdad concluimos que

.

Esto termina la demostración.

Esto permite afirmar que un contenido sobre un anillo es una premedida si para cualquier sucesión de elementos del anillo, disjuntos dos a dos, con , se tiene que

.

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