Lectura 3. Más propiedades

Hemos visto en la lectura anterior que todo contenido sobre al menos un semianillo es monótono y finitamente subaditivo.  También hemos visto que si los contenidos se establecen sobre los anillos las demostraciones son más simples y aparecen algunas propiedades más. En muchos textos se parte de esta idea. Por ejemplo,  si \mathcal{R} es un anillo, se dice que una función \mu: \mathcal{R} \rightarrow [0,+ \infty] es una medida finita si:

(i) \mu (\emptyset) = 0.

(ii) Para todos A,B de \mathcal{R}, disjuntos, es \mu(A \cup B) = \mu(A)+ \mu(B).

Es fácil probar que en este caso medida finita y contenido son equivalentes.  En efecto, si A_1, A_2, \ldots, A_n son elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, entonces si suponemos que para n-1 con n-1 \geq 1 es

\mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) = \sum_{i=1}^{n-1} \mu (A_i),

resultará

\mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \mu ((\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i )\biguplus A_n) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i).

Así por inducción concluimos la aditividad finita. Obsérvese que todos los elementos considerados y sus uniones pertenecen al anillo \mathcal{R}. Esto también es esencial en la demostración de la siguiente propiedad.

Sea \mathcal {R} un anillo y sea \mu una medida finita sobre dicho anillo. Para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de disjuntos dos a dos tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R} tenemos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Demostración. Sabemos que toda medida aditiva (contenido en este caso) es finitamente aditiva y  monótona por lo que de

\biguplus_{k=1}^{m} A_k \subset \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n, m=1,2, \ldots

se sigue que

\sum_{k=1}^{m} \mu (A_k) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n), m=1,2, \ldots.

Llevando al límite la desigualdad concluimos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Esto termina la demostración.

Esto permite afirmar que un contenido \mu sobre un anillo \mathcal{R} es una premedida si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos del anillo, disjuntos dos a dos, con \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R}, se tiene que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \geq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

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