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Lectura 2. Primeras propiedades

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Sea un semianillo y sea un contenido. Podemos afirmar entonces que dicho contenido es monótono y además finitamente subaditivo. Para probar esta afirmación precisaremos de algunas de las propiedades más características de los semianillos.

(a) Todo contenido es monótono. En efecto, sean  elementos del semianillo tales que . Podemos escribir

.

Ahora bien, la diferencia no pertenece necesariamente al semianillo pero podemos encontrar , elementos de , disjuntos dos a dos, y tales que . Por tanto,

,

por lo que aplicando la aditividad finita del contenido y su carácter no negativo, tenemos

.

Esto termina la demostración.

En el caso de que sea un anillo, si ,  entonces   pertenece al anillo . Por ello, si  , entonces la igualdad ya vista

,

permite escribir y la no negatividad del contenido nos lleva directamente a la monotonía. Además si añadimos la condición , concluimos que

,

pues restando a ambos miembros de la última igualdad no tendríamos ninguna indeterminación (recordemos que estamos trabajando en ampliado).

Veamos ahora la subaditividad. Su prueba es un poco más complicada.

(b) Todo contenido es finitamente subaditivo.

Consideremos , elementos del semianillo y sea . Definimos los conjuntos

.

Los elementos no pertenecen necesariamente al semianillo pero por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican , , . Pero es más, la construcción de los  permite utilizar una propiedad de los subanillos mediante la cual cada es unión disjunta de elementos pertenecientes al semianillo . Esto es,

.

Por otro lado, tenemos que de para , concluimos que existen , pertenecientes a y disjuntos dos a dos, tales que

.

Esta igualdad es importante pues aplicando la aditividad finita vemos que

.

En efecto, resultará

.

Esto termina la demostración.

Sii partimos de un anillo, el resultado podría haberse obtenido de una forma más sencilla pues los conjuntos pertenecen al anillo y bastaría aplicar la monotonía. Para acabar esta lectura vemos una última propiedad que se aplica a anillos y donde de nuevo apreciamos sus ventajas como soporte.

(c) Sea un anillo y sea un contenido definido en dicho anillo. Para todos es .

Sean  elementos del anillo , podemos escribir

,

,

por tanto

,

.

Si sumamos a la primera igualdad la cantidad y recordamos el valor de la segunda, vemos que

.

Esto termina la demostración.

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