Lectura 2. Primeras propiedades

Sea \mathcal{A} un semianillo y sea \mu: \mathcal{A} \rightarrow [0, + \infty] un contenido. Podemos afirmar entonces que dicho contenido es monótono y además finitamente subaditivo. Para probar esta afirmación precisaremos de algunas de las propiedades más características de los semianillos.

(a) Todo contenido es monótono. En efecto, sean A,B elementos del semianillo \mathcal{A} tales que A \subset B. Podemos escribir

B = A \biguplus (B-A).

Ahora bien, la diferencia B-A no pertenece necesariamente al semianillo \mathcal{A} pero podemos encontrar C_1, C_2, \ldots, C_n, elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos, y tales que B-A = \biguplus_{j=1}^{n} C_j. Por tanto,

B = A \biguplus (\biguplus_{j=1}^{n} C_j),

por lo que aplicando la aditividad finita del contenido y su carácter no negativo, tenemos

\mu(B) = \mu(A) + \sum_{j=1}^{n} \mu (C_j) \geq \mu(A).

Esto termina la demostración.

En el caso de que \mathcal{A} sea un anillo, si A,B \in \mathcal{A},  entonces  B-A pertenece al anillo \mathcal{A}. Por ello, si  A \subset B, entonces la igualdad ya vista

B = A \biguplus (B-A),

permite escribir \mu(B) = \mu(A)+ \mu(B-A) y la no negatividad del contenido nos lleva directamente a la monotonía. Además si añadimos la condición \mu(A) < + \infty, concluimos que

\mu(B)- \mu(A) = \mu(B-A),

pues restando \mu(A) a ambos miembros de la última igualdad no tendríamos ninguna indeterminación (recordemos que estamos trabajando en \mathbb{R} ampliado).

Veamos ahora la subaditividad. Su prueba es un poco más complicada.

(b) Todo contenido es finitamente subaditivo.

Consideremos A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n, elementos del semianillo \mathcal{A} y sea A = \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}. Definimos los conjuntos

B_1 = A_1

B_k = A_k - \cup_{j=1}^{k-1} A_j, k=2, \ldots, n.

Los elementos B_1, B_2, \ldots, B_n no pertenecen necesariamente al semianillo pero por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican B_i \subset A_i, i=1,2, \ldots, n, \biguplus_{i=1}^{n} B_i = \cup_{i=1}^{n} A_i. Pero es más, la construcción de los B_i permite utilizar una propiedad de los subanillos mediante la cual cada B_i es unión disjunta de elementos C_{1}^{i}, \ldots, C_{r_{i}}^{i} pertenecientes al semianillo \mathcal{A}. Esto es,

B_i = \biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}, i=1,2, \ldots, n.

Por otro lado, tenemos que de B_i =\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}\subset A_i para i=1,2, \ldots, n, concluimos que existen D_{1}^{i}, \ldots, D_{s_{i}}^{i}, pertenecientes a \mathcal{A} y disjuntos dos a dos, tales que

A_i = (\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}) \biguplus (\biguplus_{j=1}^{s_{i}}D_{j}^{i}).

Esta igualdad es importante pues aplicando la aditividad finita vemos que

\mu(A_i) \geq \sum_{j=1}^{r_{i}} \mu (C_{j}^{i}), i=1,2, \ldots, n.

En efecto, resultará

\mu (\cup_{i=1}^{n} A_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} B_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} (\biguplus_{j=1}^{r_i} C_{j}^{i})) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{r_i} \mu (C_{j}^{i}) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i).

Esto termina la demostración.

Sii partimos de un anillo, el resultado podría haberse obtenido de una forma más sencilla pues los conjuntos B_i pertenecen al anillo y bastaría aplicar la monotonía. Para acabar esta lectura vemos una última propiedad que se aplica a anillos y donde de nuevo apreciamos sus ventajas como soporte.

(c) Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido definido en dicho anillo. Para todos A,B \in \mathcal{R} es \mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu (A) + \mu(B).

Sean A,B elementos del anillo \mathcal{R}, podemos escribir

A \cup B = A \biguplus (B-A),

B = (A \cap B) \biguplus (B-A),

por tanto

\mu (A \cup B) = \mu(A)+\mu(B-A),

\mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu (B-A).

Si sumamos a la primera igualdad la cantidad \mu (A \cap B) y recordamos el valor de la segunda, vemos que

\mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu(A)+ \mu (B-A) + \mu (A \cap B) = \mu (A)+ \mu (B).

Esto termina la demostración.

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