MATEMATICAS.NET

Álgebra generada por una clase no vacía

Anuncios

Sea un conjunto no vacío y sea una clase no vacía de partes de . Probaremos el siguiente resultado.

Teorema
Definimos las clases
,

,

.

Entonces es el álgebra generada por .

Demostración.

Por construcción es . Sea un álgebra que incluye a , entonces incluirá al conjunto vacío, al propio y a los complementarios de los elementos de . Así pues


Pero toda álgebra es un -sistema por lo que incluirá a las intersecciones finitas de sus elementos y así concluiremos que

.

Finalmente, sabemos que toda álgebra es cerrada para las uniones finitas de sus elementos por lo que

.

Sólo nos resta probar que es un álgebra. Sean y elementos de , entonces

,

donde y son elementos de . Tenemos

.

Pero como , para , , se sigue que es un elemento de . Por otro lado, sea un elemento de , entonces

.

Esto significa que . Finalmente, si es un elemento de tenemos

y como cada pertenece a y esta clase es cerrada para la intersección concluimos que es también un elemento de . Esto prueba que dicha clase es un anillo y como , será un álgebra.

Comentarios

En primer lugar, hemos usado el hecho de que el álgebra generada por una clase es la intersección de todas las álgebras que la contienen por lo que si es un álgebra incluida en todas las que incluyen a es obvio que coincide con la intersección de estas.

Anuncios