Una ecuación trigonométrica

Vamos a resolver una ecuación trigonométrica:

\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0.

Pero primero vamos a demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. (1)

Bastará utilizar las conocidas expresiones para el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos:

\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,
\sin (x-y) = \sin x \cos y - cos x \sin y.

Haciendo x +y = A y x-y = B, despejando x e y en función de A y B y sustituyendo, tendremos la expresión (1). Pasamos a resolver la ecuación pero antes agrupamos en la forma

(\sin x+ \sin 3x) +(\sin 2x + \sin 4x) = 0.

Procedemos con los cálculos a partir de (1) en cada paréntesis:

2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} + 2 \sin \frac{2x+4x}{2}  \cos \frac{2x-4x}{2} = 0,
2 \sin 2x \cos (-x) + 2 \sin 3x + \cos (-x) = 0,
2 \cos (-x) (\sin 2x + \sin 3x) = 0,
-2 \cos x (2 \sin \frac{2x+3x}{2} \cos \frac{2x-3x}{2}) = 0,
-4 \cos x \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{-x}{2} = 0,
4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2} = 0.

Por tanto, tenemos tres ecuaciones:

\cos x =0, (2)
\cos  \frac{x}{2} =0, (3)
\sin \frac{5x}{2} = 0, (4)

cuyas resoluciones son muy sencillas.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s