Un problema con dos recipientes

En una de mis clases se me planteó el siguiente problema:
“Tenemos un recipiente con capacidad de 7 litros y otro con capacidad de 4 litros. ¿Cómo podemos medir 10 litros utilizando ambos?”
En un primer momento se me ocurrió una respuesta ecológica que implicaba un tercer recipiente para ir poniendo el líquido sobrante, pero veo que hay otra respuesta que no implica tal recipiente y que conlleva tirar parte del líquido. Es la que sigue:
1. Llenamos el recipiente de 7 litros completamente

recipiente1

2. Vertemos el líquido del recipiente de 7 litros en el de 4 hasta llenarlo.

recipiente2

3. Ahora viene la parte “no ecológica”. Vaciamos totalmente el recipiente de 4 litros.

recipiente3

4. Ahora vertemos los 3 litros que quedaban en el recipiente mayor al recipiente menor.

recipiente4

5. Llenamos ahora totalmente el recipiente de 7 litros y ya tenemos 10 litros entre los dos.

recipiente5

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Formas cuadráticas (4 y final)

Daremos un ejemplo de forma bilineal simétrica:

Consideremos E=\mathbb{R}^{2} y sea la forma bilineal simétrica definida sobre \mathbb{R}^{2} mediante f((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}))= x_{1} y_{1} + 2 x_{2} y_{2}. Su matriz respecto a la base canónica es

matriz4

Por tanto, la expresión matricial queda

matriz5

La forma cuadrática asociada q es q(x_{1},x_{2})= x_{1}^{2} +2 x_{2}^{2}, que expresada en forma matricial es

matriz6

Como hemos visto en el ejemplo anterior, las formas cuadráticas tienen expresiones analíticas en la base canónica que resultan ser polinomios homogéneos de grado n (en el ejemplo, es de grado 2). El resultado recíproco es también cierto como pasamos a probar.

Teorema 1. Todo polinomio homogéneo de grado 2 en n variables x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} y coeficientes reales puede considerarse como la expresión analítica de una forma cuadrática definida en el espacio vectorial real \mathbb{R}^{n}.

Demostración. Sea p(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = \sum_{ij=1, i< j}^{n} \lambda_{ij} x_{i}x_{j} un polinomio homogéneo de grado 2 con coeficientes \lambda_{ij} reales. Definimos la matriz cuadrada A=(a_{ij}) de orden n mediante

matriz7

Esta matriz es simétrica (por su misma construcción) y la aplicación q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, definida por

matriz8

es una forma cuadrática expresada en forma matricial respecto de la base canónica. Esto termina nuestra demostración.

Las formas cuadráticas ofrecen resultados numéricos, por ello es interesante hallar el signo de tales resultados.

Definición 1. Una forma cuadrática q: E \rightarrow K se dice definida positiva si q(u) \geq 0 para todo u \in E y $q(u)=0$ si y sólo si u=0.
Definición 2. Una forma cuadrática q: E \rightarrow K se dice definida negativa si q(u) \leq 0 para todo u \in E y q(u)=0 si y sólo si u=0.
Definición 3. Una forma cuadrática q: E \rightarrow K se dice semidefinida positiva si q(u) \geq 0 para todo u \in E y existe al menos un u \neq 0 tal que q(u)=0.