Ejercicios de Teoría de la Medida (2)

4. Sea \mathcal{R} una clase de subconjuntos de X, tal que E, F \in \mathcal{R} implica que E \cup F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución:
Bastará comprobar que

E \cap F = (E \cup F) \Delta (E \Delta F).

En efecto, podemos usar el método de las funciones características (que en este caso es bastante largo pero efectivo) para comprobar la igualdad y una vez comprobada basta recordar el resultado del problema 3 de la entrada (1) de ejercicios.

5. Demostrar que el conjunto de todas las partes de X es un anillo algebraico con las operaciones de diferencia simétrica e intersección.
Solución: En primer lugar, el conjunto \mathcal{P}(X) de las partes de X es cerrado para dichas operaciones. Debemos probar que respecto a la diferencia simétrica es un grupo, respecto a la intersección es un semigrupo y la intersección es distributiva respecto a la diferencia simétrica por ambos lados. Recordemos que la diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B se define como

A \Delta B = (A \cup B)- (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Sean A,B y C tres subconjuntos de X, probaremos que la diferencia simétrica es asociativa utilizando las funciones características.

\chi_{A \Delta (B \Delta C)} = \chi_{A}+\chi_{B \Delta C}-2 \chi_{A} \chi_{B \Delta C}=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 (\chi_A (\chi_B+\chi_C - 2 \chi_B \chi_C))=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 \chi_A \chi_B -2 \chi_A \chi_C +4 \chi_A \chi_B \chi_C =
\chi_{A}+\chi_B -2 \chi_A \chi_B + \chi_C -2 \chi_C (\chi_A +\chi_B -2 \chi_A \chi_B)= \chi_{A \Delta B}+ \chi_{C} -2 \chi_{C} \chi_{A \Delta B} = \chi_{(A \Delta B)\Delta C} .

Esto prueba que la diferencia simétrica es asociativa. También es conmutativa pues

\chi_{A \Delta B} = \chi_A + \chi_B - 2 \chi_A \chi_B = \chi_B+ \chi_A +2 \chi_B \chi_A = \chi_{B \Delta A}.

El elemento neutro de la diferencia simétrica es el vacío pues

A \Delta \emptyset = (A- \emptyset) \cup (\emptyset -A) = A.

Aquí hemos empleado la definición pues resulta más cómodo. Finalmente, cada A subconjunto de X verifica
A \Delta A = (A-A) \cup (A-A) = \emptyset
por lo que es su propio simétrico. En definitiva, (\mathcal{P}(X), \Delta) es un grupo abeliano con neutro \emptyset.
La asociatividad de la intersección es inmediata, además resulta una operación conmutativa y tiene por neutro al conjunto X. Finalmente,

\chi_{A  \cap (B \Delta C)} = \chi_{A} \chi_{B \Delta C} = \chi_{A} (\chi_B +\chi_C - 2 \chi_B \chi_C) =
\chi_A \chi_B + \chi_A \chi_C - 2(\chi_A \chi_B)(\chi_A \chi_C) = \chi_{(A \cap B) \Delta (A \cap C)}.

Deberíamos probar también que (A \Delta B) \cap C = (A \cap C) \Delta (B \cap C) pero al ser conmutativa la intersección no es necesario.

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Ejercicios de Teoría de la Medida (1)

1. Sean E y F dos conjuntos. Probar que

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F).

Solución: Tenemos dos opciones. Podemos probarlo en base en las definiciones de las operaciones conjuntistas o podemos usar las funciones características. Recordemos que la función característica \chi_A de un subconjunto A de X es una función real que tiene el valor 1 si x \in A y el valor cero si x \notin A. Además sabemos que dos funciones características \chi_A y \chi_B son iguales si y sólo si los conjuntos A y B son iguales y conocemos las igualdades básicas:

\chi_{A}^2 = \chi_{A},

\chi_{A \cup B} = \chi_{A}+\chi_{B} - \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A \cap B} = \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A - B} = \chi_{A}(1- \chi_{B}).

Por lo que un pequeño cálculo nos lleva a

\chi_{E \Delta F} = \chi_{E}+\chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}.

Pasamos a la prueba en cuestión. Vamos ver qué resulta de

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)}.

Sólo hemos de desarrollar y el proceso es algo tedioso pero nos lleva a buen puerto:

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)} = \chi_{E \Delta F} + \chi_{E \cap F}                    - 2 \chi_{E \Delta F} \chi_{E \cap F} =
(\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})+\chi_{E} \chi_{F}- 2((\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})(\chi_{E} \chi_{F}))=
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E}^2 \chi_{F}+\chi_{E} \chi_{F}^2-2 \chi_{E}^2 \chi_{R}^2) =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E} \chi_{F} +\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F})= \chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 \cdot 0 =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E \cup F}

2. Demostrar que

E - F = E \Delta (E \cap F).

Solución: Vamos a emplear el método de las funciones características. En este caso

\chi_{E \Delta (E \cap F)} = \chi_{E} +\chi_{E \cap F} - 2 \chi_{E} \chi_{E \cap F} =
\chi_{E} + \chi_{E} \chi_{F}- 2 ( \chi_{E} (\chi_{E} \chi_{F})) =
\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} - 2 \chi_{E}^2 \chi_{F} =\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}=
\chi_{E}-\chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E} (1-\chi_{F}) = \chi_{E-F}.

3. Sea \mathcal{R} una clase no vacía de subconjuntos de X, tales que E,F \in \mathcal{R} implica que E \cap F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución: Recordemos que un anillo de subconjuntos de X es una clase no vacía de subconjuntos de X cerrada para la unión y la diferencia de cada par de sus elementos. Por tanto, bastará hacer uso de los resultados de los problemas anteriores pues,si E,F \in \mathcal{R}, entonces

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R},

E - F = E \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R}.

Consultorio Matemático (10)

Consulta: Hola, soy nueva. Pregunto sobre vectores: Tengo 2 vectores de los cuales son equipolentes por lo tanto el mismo módulo
AB i CD
Como calculo D si
A(3,0) B(9,3) i C(-8,5)
Espero que me ayuden. Muchas gracias.

Respuesta: Para que dos vectores sean equipolentes sus “componentes” han de ser las mismas. Las componentes de un vector en el espacio afín \mathbb{R}^2 se puede obtener utilizando los puntos (a,b) de su origen y (c,d) de su extremo, mediante

u = c-a, v= d-b.

Aplicando esto a tu problema vemos que el vector AB tiene por componentes

u = 6, v=3.

Como el vector CD es equipolente a AB, llamamos D=(x,y) y resulta que

6 = x+8, 3=y-5.

Fácilmente resulta
x= -2, y=8.

Como se observa no necesitas calcular sus módulos. En realidad, existen una infinidad de vectores que tienen el mismo origen y módulo pero diferentes extremos como muestra la siguiente imagen

vectores

Pero sólo uno de ellos es equipolente a AB y es el calculado.

Consultorio Matemático (9)

Consulta: Cuando Ana salió de casa , las agujas del reloj formaban un ángulo agudo y faltaba una hora para que fuera recto. ¿Qué hora era?

Respuesta: Ufff… Aquí hay mucha más miga de lo que parece. En principio vamos a considerar el tiempo como continuo a efectos de cálculo y vamos a usar esta hipótesis para hallar las posiciones en las que el minutero y el horario forman un ángulo de 90 grados sexagesimales (o pi/2 radianes). Partimos de las doce en punto y consideramos esa hora como la referencia para nuestros cálculos. El ángulo lo medimos en sentido horario (pues es más cómodo).

reloj1

Como el minutero tarda justo una hora en dar una vuelta de 360 grados, su velocidad angular es de

\omega_m = \frac{360}{60} = 6 grados\minuto.

En cuando a la aguja horaria, tarda 3 horas en recorrer 90 grados y su velocidad angular es de

\omega_h = \frac{90}{180} = 0,5 grados\minuto

Es fácil ahora obtener el ángulo recorrido en un tiempo dado por ambas agujas. Sólo habrá que multiplicar la velocidad angular por el tiempo. Pero a nosotros nos interesa que la diferencia entre el ángulo recorrido por ambas sea 90 grados y así formen justamente un ángulo recto. Llamando \alpha_m al ángulo recorrido por el minutero a partir de las doce y \alpha_h al recorrido por la aguja horaria, tenemos:

\alpha_m - \alpha_h = 6t-\frac{1}{2}t = 90

\frac{11}{2}t = 90

t = \frac{2 90}{11} = \frac{180}{11} = 16,36363636 ... minutos

Es decir, a las doce y 16 minutos y 21,818181…. segundos.

reloj2

Pero al tener una separación angular de 270 grados volvemos a tener un ángulo recto (aunque medido en sentido usual o antihorario). Es decir

\frac{11}{2}t = 270

t = \frac{2 \cdot 270}{11} = \frac{540}{11} = 49,090909 ... minutos

Esto es a las 12 y 49 minutos y 5,45454…. segundos

reloj3

Siguiendo con este razonamiento escribimos

\frac{11}{2}t = (2k+1) 90, k=0,1,2, ...

t = \frac{180}{11} (2k+1), k=0,1,2, ...

Obviamente, el proceso es cíclico y nos interesa ver cuándo se repite. Esto ocurrirá si al poner un valor de k llegamos a superar el de valor de t = 720 minutos (es decir, 12 horas). Con esto en mente, vemos que las soluciones son

t = \frac{180}{11} (2k+1) \leq 720,

k \leq (720 \frac{11}{180}-1) /2,

0 \leq k \leq 21,

Así pues hay 22 posibilidades en 12 horas con un reloj que mide forma “continua” el tiempo. Entre ellas están las 3 y las 9 que son las únicas soluciones enteras. Esto nos muestra que una hora hay dos posiciones posibles a excepción de la hora entre las dos y las tres y las ocho y las nueve donde sólo hay una. ¿Pero qué pasa si el reloj sólo marca los minutos exactos? En ese caso sólo tenemos a las tres y a las nueve como únicas soluciones y para que el ángulo agudo sea una hora antes sólo es posible que salga a las dos (de la tarde o la mañana) y llegue a las tres (de la tarde o la mañana).

Consultorio Matemático (8)

Consulta: Me podrian explicar como tabular 2y + 5x=10

Respuesta: Se trata de una función lineal. Entiendo que quieres obtener una serie de puntos de la gráfica de la función. Para ello lo más cómodo es pasar de la forma en que está, llamada implícita, a una forma explícita donde una variable (x o y) se expresa en función de la otra. En este caso es inmediato que

y = \frac{10-5x}{2} = 5- \frac{5}{2} x

Sólo tienes que dar valores a x para obtener los correspondientes valores de y. Por ejemplo, si x =0, es y = 5 y así obtienes que el punto (0,5) pertenece al grafo de la función. La siguiente imagen te da una idea de cómo es el grafo.

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Consultorio Matemático (7)

Consulta: Tengo que averiguar la distancia f(x) = √(4x² + x + 1)
\”P\” el punto del gráfico F de abscisas y \”Q\” = (0,-1).
Respuesta: Creo que lo que buscas es la distancia entre la gráfica de la función y un punto dado. Supondré que es así y desarrollaré la explicación en base a esto.

En primer lugar, la distancia euclídea entre dos puntos P y Q es la norma del vector PQ. Esto es, si P=(x,y) y Q =(z,t), se tiene que

d(P,Q) = \sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}.

En este caso obtenemos una expresión donde Q es (0,-1) y P es un punto de la curva y =\sqrt{4x^2+x+1}. En concreto, resulta una expresión que depende sólo de x:

d(x) = \sqrt{(x-0)^2+(\sqrt{4 x^2+x+1}+1)^2}.

Debemos buscar el valor mínimo de esta expresión. ¿Por qué? Pues porque la distancia entre punto y curva se entiende como la distancia mínima entre ellos. Para facilitar el cálculo, elevamos d al cuadrado pues el mínimo alcanzado en su cuadrado corresponderá al mínimo de d:

h(x) =d(x)^2 = (x-0)^2+(\sqrt{4 x^2+x+1}+1)^2.

En este punto utilizaremos el cálculo diferencial. Derivamos la función h(x):

h' = 2x + \frac{(8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1)}{\sqrt{4 x^2+x+1}}.

Igualamos a cero y resolvemos:

2x + \frac{(8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1)}{\sqrt{4 x^2+x+1}} = 0,

2x (\sqrt{4 x^2+x+1})+ (8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1) = 0,

(10x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1})+  (8x+1) = 0,

(10x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1})= - (8x+1),

(10x+1)^2 (4 x^2+x+1)=  (8x+1)^2,

(100 x^2+20x+1) (4 x^2+x+1)=  (64x^2+16x+1),

x(80x^3+36x^2+12x+1) = 0,

La solución x=0 no es la única (además no va a ser la solución), existe una solución real de la ecuación

(80x^3+36x^2+12x+1) = 0

pero no es sencillo obtenerla. Debes conocer algo de números complejos y usar una fórmula para la ecuación de tercer grado. Como no sé si esto lo conoces, voy a dar una imagen de la curva para que te hagas una idea:

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El punto más cercano de la curva a (0,-1) tiene una abscisa que está entre -1 y 0 (distancia d) mientras que el punto de abscisa 0 dista d’ que es un “poco” más. En una próxima entrada hablaré de cómo se resuelve la ecuación de tercer grado y podremos terminarlo. Puedes mirar también en:
Distancia mínima a una parábola.

Consultorio Matemático (6)

Consulta: Pasos para escribir un intervalo o una unión de intervalos y representarla en la recta real. ¿Debo resolver la inecuación? Ej: \{ x \in \mathbb{R} : 3x+2 \leq -x- 5 \}

Respuesta: Voy a responderte resolviendo la inecuación o lo que lo es lo mismo expresando de forma explícita el conjunto que has indicado en tu pregunta. La inecuación es de primer grado y su resolución sigue estos pasos:

1. Agrupamos las incógnitas en un lado de la inecuación y el resto de sumandos al otro

3x+x \leq -5-2

2. Operamos y despejamos

4x \leq -7

x \leq -\frac{7}{4}

El resultado es el intervalo ]-\infty, -\frac{7}{4}]. Este caso es relativamente sencillo y no responde del todo a tu consulta. Vamos a ver un caso más complicado.

Sea la inecuación x^2-1 <3. Se trata de una expresión de segundo grado y debemos ponerla en “forma normal”

x^2-1-3 <0 \rightarrow x^2-4 <0.

Ahora resolvemos la ecuación asociada: x^2-4 = 0, que tiene las soluciones reales x= -2 y x =2. Estos valores nos llevan a considerar los intervalos (debido a que la desigualdad es estricta no tomo los extremos):

]-\infty, -2[, ]-2, 2[, ]2,\infty[.

Ahora tomamos un punto p de cada intervalo y calculamos el signo de p^2-4. Vemos que esta expresión es positiva en ]-\infty, -2[ y en ]2, \infty[ por lo que la solución es la unión de estos dos intervalos. El siguiente gráfico aclara este punto

lkzamyceln

Como ves la parte de la gráfica situada por encima del eje de abscisas (eje de las x) es la que corresponde a las abscisas situadas en los intervalos que hemos obtenido.

El tema de las inecuaciones es bastante amplio pero si consideras sólo las de tipo polinómico o racional se pueden tratar de forma similar a lo ya visto. Para ampliar puedes ver los siguientes enlaces

Enlace 1
Enlace 2