Ecuaciones cúbicas (1)

En una entrada anterior del Consultorio Matemático se nos presentaba una ecuación polinómica de tercer grado con coeficientes reales. Ha llegado el momento de explicar el método más usado para su resolución por radicales.
Consideramos ecuaciones de la forma

Ax^3 +Bx^2+Cx+D = 0,

donde A, B, C y D son números reales y A \neq 0. Diremos que la ecuación está normalizada si A=1 y que está en forma reducida si está normalizada y B=0. Esto es, tiene la forma

x^3+cx+d = 0.

Toda ecuación cúbica normalizada puede llevarse a la forma reducida mediante el cambio de variable

x = y-\frac{B}{3}.

Por ejemplo, la ecuación cúbica normalizada x^3-2x^2+x-1=0 se transforma mediante el cambio x = y+\frac{2}{3} en

(y+2/3)^3-2(y+2/3)^2+(y+2/3)-1=0

que desarrollada convenientemente nos lleva a la forma reducida

y^3-\frac{1}{3}y - \frac{25}{27} = 0.

Una vez se halla en forma reducida pasamos a aplicar el cambio y = z-\frac{c}{3z}. En nuestro caso, y = z- \frac{-1/3}{3z} = z+\frac{1}{9z}, quedando

(z+\frac{1}{9z})^3-\frac{1}{3}(z+\frac{1}{9z}) - \frac{25}{27} =0,

que simplificada nos lleva a

z^3+\frac{1}{9^3 z^3}-\frac{25}{27}=0.

Esta ecuación puede hacerse bicuadrada fácilmente al multiplicar ambos miembros por z^3. Es decir,

z^6-\frac{25}{27}z^3+\frac{1}{9^3}=0.

Para resolver la ecuación bicuadrada hacemos z^3 = t y tenemos

t^2-\frac{25}{27} t+\frac{1}{9^3}=0,

cuyas soluciones son
t = \frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}, t= \frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}.
Ahora tenemos que “deshacer” los cambios. En primer lugar,

z =\sqrt[3]{t} = \epsilon \sqrt[3]{t},

siendo \epsilon la notación para las tres raíces cúbicas de la unidad en el cuerpo de los complejos. Era inevitable usar números complejos pero he intentado minimizar su “impacto”. Me limitaré a explicar cómo son las tres raíces de la unidad. En primer lugar, escribimos

1 = 1+0i = e^{0i}= 1 ( \cos 0 + i \sin 0).

Sus raíces son

1^{1/3} = \{ 1^{1/3} (\cos \frac{(0+2 k \pi)}{3}+ i \sin \frac{(0+2 k \pi)}{3}), k = 0,1,2 \}.

Es decir,

\epsilon = \{1, -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \}.

Convenimos en que

\epsilon_1 = 1, \epsilon_2 =-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \epsilon_3 =-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.

En consecuencia, tendremos

z =  \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}, z= \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}} .

y = z+\frac{1}{9z} =  \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+ \frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}} , y= z+\frac{1}{9z} = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}} + \frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}.

Simplificamos las fracciones multiplicando por sus conjugados. En particular,

\frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}} = \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}(\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}})} =\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon} .

Sustituyendo de nuevo vemos que

y = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon}

y = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon} .

Ahora deberíamos poner los tres valores de \epsilon para obtener seis soluciones. Sin embargo, teniendo en cuenta que \epsilon_2 \epsilon_3 =1 vemos que \epsilon_2 = \frac{1}{\epsilon_3}, de donde

y_1 =  \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}

y_2 =  \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}} .

y_3 = \epsilon_2\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_3}

y_4 = \epsilon_2 \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_3} .

y_5 = \epsilon_3 \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{\epsilon_2}

y_6 = \epsilon_3 \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_2} .

Se aprecia pues que y_1=y_2, y_3=y_4 e y_5=y_6, quedando tres soluciones. La primera de ellas es la única real y vale

y =\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}.

Las otras dos son complejas y su cálculo es un poco más laborioso. Una vez obtenidas, debemos hacer el cambio final x = y+\frac{2}{3}.
Como el lector puede apreciar, este sistema de obtención de soluciones se presenta largo y complicado. Podemos simplificarlo un poco utilizando una fórmula. Pero esto lo veremos en la próxima entrada.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s