Consultorio Matemático (14)

Consulta: ¿Para qué valores de m la ecuación
(m-1)((X^2)-2mX+m-2)=0
tiene dos raíces diferentes con signos negativos?
Respuesta: Voy a suponer que tu consulta se refiere a la ecuación

(m-1) x^2 - 2m x + (m-2) = 0.

donde m es un número real y que buscas sólo soluciones reales. Debes fijarte en el valor del discriminante

\Delta =4m^2 - 4 (m-1)(m-2)

Si este valor es mayor que cero entonces tiene dos raíces reales diferentes. Pero el problema nos pide que ambas sean negativas. Para la primera condición tenemos que

4m^2 - 4 (m-1)(m-2)= 4m^2-4m^2+12m-8 =12m-8 >0

m > \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

Por tanto si m es un número real mayor que 2/3, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si queremos que sean negativas, entonces

2m -\sqrt{\Delta} <0

2m +\sqrt{\Delta} <0

Pero si m es mayor que 2/3 será positivo y al sumar con la raíz positiva del discriminante no dará lugar a número negativo. Por ello solo tenemos en cuenta la primera desigualdad y operamos con ella:

4m^2 < \Delta = 12m-8,

4m^2-12m+8 <0, m^2-3m+2 <0

Esta última inecuación tiene por solución el intervalo abierto (1,2). Como vemos en la siguiente gráfica (cortesía de wolframalpha.com).

MSP258521agbhdaigb0bh5500005cd1375eb8ehdb5b

Teniendo en cuenta las dos desigualdades obtenidas para m, vemos que si
\frac{2}{3} < m <1, se cumplen las condiciones pedidas. Por ejemplo, para m= 0,9 es (0,9-1) x^2 - 2 \cdot 0,9 x + (0,9-2) = 0, que da lugar a la ecuación

-0,1 x^2 -1,8 x -1,1=0

cuyas soluciones son diferentes y negativas.

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