Consultorio Matemático (12)

Consulta: se tiene un segmento MN que intersecta al eje x y cuya longitud es igual a 13 unidades. Si M tiene como coordenadas a (3, -2) y la proyección de MN sobre el eje de abscisas es igual a 12. Halle las coordenadas del otro extremo del segmento.

Respuesta: Consideremos el vector \overline{MN}. Conocemos de dicho vector uno de sus extremos (M) y nos falta por conocer el otro (N). Ahora bien, como sabemos que su módulo es 13 (pues es la longitud del segmento MN), resulta que si N=(x,y), entonces

|\overline{MN}|=\sqrt{(x-3)^2 + (y+2)^2} = 13.

La proyección de un vector sobre el eje de abscisas se obtiene utilizando el producto escalar. Recordemos que si u y v son vectores, entonces la proyección de u sobre v es igual a proy_u (v) =|u| \cos \alpha, siendo \alpha el ángulo que forman entre ellos. Por tanto, u \cdot v = |u| |v| \cos \alpha = |v| (proy_u (v)) y en nuestro caso, llamando i al vector unitario que da la dirección del eje de abscisas, tenemos

\overline{MN} \cdot \overline{i} = |i| proy_{\overline{MN}}(i) = 1 \cdot 12 =12

Pero sabemos que

\overline{MN} \cdot \overline{i} = (x-3)\cdot 1 + (y+2) \cdot 0 = (x-3).

Luego

(x-3) =12.

Esto significa que x= 15 y de aquí

\sqrt{(12)^2 + (y+2)^2} = 13 ,

12^2 + (y+2)^2 = 13^2,

12^2 + (y+2)^2 = 13^2,

(y+2)^2 = 13^2-12^2 =(13-12)(13+12) = 25 ,

y+2 =  5, -5 ,

y =  3,-7 .

Tenemos entonces que N =(x,y) = (15,3), (15,-7).

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