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Ejercicios de Teoría de la Medida (3)

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6. Sea una clase no vacía de subconjuntos de y el anillo engendrado por . Demostrar que si , existen tales que .

Solución: El anillo engendrado por una clase de partes de es el menor anillo (en sentido inclusivo) que contiene a dicha clase. Es decir, si es un anillo cualquiera sobre que verifica , entonces . Consideremos ahora la clase formada por aquellos elementos de de que pueden recubrirse con un número finito de elementos de . Es decir, si pertenece a , hallaremos , de forma que

.

Es inmediato que . Probaremos que es un anillo sobre . En efecto, si y son elementos de entonces existen recubrimientos finitos de y formados por elementos de por lo que la unión se puede recubrir con la unión de los recubrimientos respectivos y tal unión tiene un número finito de elementos. Lo mismo ocurre con el conjunto que al ser parte de se puede recubrir con el número finito de conjuntos que recubren .

Al ser un anillo que incluye a concluimos que por lo que y esto prueba la condición buscada.

7. Sea un conjunto no vacío y sea una clase de partes de tal que si entonces y pertenecen a . ¿Es un anillo sobre ?

Solución: En general no. Vamos a dar un contraejemplo. Sea y sea

.

Es fácil ver que la intersección y la unión de elementos de esta clase también pertenece a la misma clase (observemos que sus elementos se pueden disponer en una “cadena” por lo que las intersecciones serán los elementos inferiores y las uniones los superiores). Sin embargo, la diferencia

no pertenece a .

8. Dar un ejemplo de un anillo que no sea álgebra ni -anillo.

Solución: Sea un conjunto infinito y sea la clase de las partes finitas de . Dicha clase es no vacía pues el vacío es una parte finita de por lo que . Además como la unión de partes finitas es una parte finita y la diferencia de partes finitas también es una parte finita, concluimos que es un anillo sobre . Sin embargo, no es un álgebra pues como es infinito se sigue que no pertenece a dicho anillo (y como sabemos un álgebra sobre no es más que un anillo que contiene a ). Tampoco es un -anillo pues no es cerrado para la unión numerable. En efecto, sea un subconjunto numerable de (el cual existe en virtud del carácter infinito de ). Escribimos

La sucesión de conjuntos está formada por elementos de pero su unión es y no pertenece a .

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