Ejercicios de Teoría de la Medida (3)

6. Sea \mathcal{M} una clase no vacía de subconjuntos de X y \mathcal{R}((\mathcal{M}) el anillo engendrado por \mathcal{M}. Demostrar que si A \in \mathcal{R}(\mathcal{M}), existen M_1, M_2, \ldots, M_n \in \mathcal{M} tales que A \subset \cup_{k=1}^{n} M_k.

Solución: El anillo engendrado por una clase de partes de X es el menor anillo (en sentido inclusivo) que contiene a dicha clase. Es decir, si \mathcal{R} es un anillo cualquiera sobre X que verifica \mathcal{M} \subset \mathcal{R}, entonces \mathcal{M} \subset \mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset \mathcal{R}. Consideremos ahora la clase \mathcal{S} formada por aquellos elementos de de \mathcal{R}(\mathcal{M}) que pueden recubrirse con un número finito de elementos de \mathcal{M}. Es decir, si A pertenece a \mathcal{S}, hallaremos M_1,M_2, \ldots, M_n \in \mathcal{M}, de forma que

A \subset \cup_{k=1}^{n} M_k.

Es inmediato que \mathcal{M} \subset \mathcal{S}. Probaremos que es un anillo sobre X. En efecto, si A y B son elementos de \mathcal{S} entonces existen recubrimientos finitos de A y B formados por elementos de \mathcal{M} por lo que la unión A \cup B se puede recubrir con la unión de los recubrimientos respectivos y tal unión tiene un número finito de elementos. Lo mismo ocurre con el conjunto A-B que al ser parte de A se puede recubrir con el número finito de conjuntos que recubren A.

Al ser \mathcal{S} un anillo que incluye a \mathcal{M} concluimos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset \mathcal{S} por lo que \mathcal{S} = \mathcal{R}(\mathcal{M}) y esto prueba la condición buscada.

7. Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P} una clase de partes de X tal que si A,B \in \mathcal{P} entonces A \cup B y A \cap B pertenecen a \mathcal{P}. ¿Es \mathcal{P} un anillo sobre X?

Solución: En general no. Vamos a dar un contraejemplo. Sea X = \mathbb{R} y sea

\mathcal{P} = \{ \emptyset, \{0,1\}, \{0,1,2 \} \}.

Es fácil ver que la intersección y la unión de elementos de esta clase también pertenece a la misma clase (observemos que sus elementos se pueden disponer en una “cadena” por lo que las intersecciones serán los elementos inferiores y las uniones los superiores). Sin embargo, la diferencia

\{0,1,2 \}-\{0,1\} = \{2 \}

no pertenece a \mathcal{P}.

8. Dar un ejemplo de un anillo que no sea álgebra ni \sigma-anillo.

Solución: Sea X un conjunto infinito y sea \mathcal{R} la clase de las partes finitas de X. Dicha clase es no vacía pues el vacío es una parte finita de X por lo que \emptyset \in \mathcal{R}. Además como la unión de partes finitas es una parte finita y la diferencia de partes finitas también es una parte finita, concluimos que \mathcal{R} es un anillo sobre X. Sin embargo, no es un álgebra pues como X es infinito se sigue que X no pertenece a dicho anillo (y como sabemos un álgebra sobre X no es más que un anillo que contiene a X). Tampoco es un \sigma-anillo pues no es cerrado para la unión numerable. En efecto, sea N un subconjunto numerable de X (el cual existe en virtud del carácter infinito de X). Escribimos

N = \{x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots \}

La sucesión de conjuntos (\{x_i \})_{i=1}^{\infty} está formada por elementos de \mathcal{R} pero su unión es N y N no pertenece a \mathcal{R}.

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