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Ejercicios de Teoría de la Medida (2)

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4. Sea una clase de subconjuntos de , tal que implica que y pertenecen a . Demostrar que es un anillo sobre .
Solución:
Bastará comprobar que

.

En efecto, podemos usar el método de las funciones características (que en este caso es bastante largo pero efectivo) para comprobar la igualdad y una vez comprobada basta recordar el resultado del problema 3 de la entrada (1) de ejercicios.

5. Demostrar que el conjunto de todas las partes de es un anillo algebraico con las operaciones de diferencia simétrica e intersección.
Solución: En primer lugar, el conjunto de las partes de es cerrado para dichas operaciones. Debemos probar que respecto a la diferencia simétrica es un grupo, respecto a la intersección es un semigrupo y la intersección es distributiva respecto a la diferencia simétrica por ambos lados. Recordemos que la diferencia simétrica entre dos conjuntos y se define como

.

Sean y tres subconjuntos de , probaremos que la diferencia simétrica es asociativa utilizando las funciones características.




.

Esto prueba que la diferencia simétrica es asociativa. También es conmutativa pues

.

El elemento neutro de la diferencia simétrica es el vacío pues

.

Aquí hemos empleado la definición pues resulta más cómodo. Finalmente, cada subconjunto de verifica

por lo que es su propio simétrico. En definitiva, es un grupo abeliano con neutro .
La asociatividad de la intersección es inmediata, además resulta una operación conmutativa y tiene por neutro al conjunto . Finalmente,


.

Deberíamos probar también que pero al ser conmutativa la intersección no es necesario.

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