Ejercicios de Teoría de la Medida (2)

4. Sea \mathcal{R} una clase de subconjuntos de X, tal que E, F \in \mathcal{R} implica que E \cup F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución:
Bastará comprobar que

E \cap F = (E \cup F) \Delta (E \Delta F).

En efecto, podemos usar el método de las funciones características (que en este caso es bastante largo pero efectivo) para comprobar la igualdad y una vez comprobada basta recordar el resultado del problema 3 de la entrada (1) de ejercicios.

5. Demostrar que el conjunto de todas las partes de X es un anillo algebraico con las operaciones de diferencia simétrica e intersección.
Solución: En primer lugar, el conjunto \mathcal{P}(X) de las partes de X es cerrado para dichas operaciones. Debemos probar que respecto a la diferencia simétrica es un grupo, respecto a la intersección es un semigrupo y la intersección es distributiva respecto a la diferencia simétrica por ambos lados. Recordemos que la diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B se define como

A \Delta B = (A \cup B)- (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Sean A,B y C tres subconjuntos de X, probaremos que la diferencia simétrica es asociativa utilizando las funciones características.

\chi_{A \Delta (B \Delta C)} = \chi_{A}+\chi_{B \Delta C}-2 \chi_{A} \chi_{B \Delta C}=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 (\chi_A (\chi_B+\chi_C - 2 \chi_B \chi_C))=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 \chi_A \chi_B -2 \chi_A \chi_C +4 \chi_A \chi_B \chi_C =
\chi_{A}+\chi_B -2 \chi_A \chi_B + \chi_C -2 \chi_C (\chi_A +\chi_B -2 \chi_A \chi_B)= \chi_{A \Delta B}+ \chi_{C} -2 \chi_{C} \chi_{A \Delta B} = \chi_{(A \Delta B)\Delta C} .

Esto prueba que la diferencia simétrica es asociativa. También es conmutativa pues

\chi_{A \Delta B} = \chi_A + \chi_B - 2 \chi_A \chi_B = \chi_B+ \chi_A +2 \chi_B \chi_A = \chi_{B \Delta A}.

El elemento neutro de la diferencia simétrica es el vacío pues

A \Delta \emptyset = (A- \emptyset) \cup (\emptyset -A) = A.

Aquí hemos empleado la definición pues resulta más cómodo. Finalmente, cada A subconjunto de X verifica
A \Delta A = (A-A) \cup (A-A) = \emptyset
por lo que es su propio simétrico. En definitiva, (\mathcal{P}(X), \Delta) es un grupo abeliano con neutro \emptyset.
La asociatividad de la intersección es inmediata, además resulta una operación conmutativa y tiene por neutro al conjunto X. Finalmente,

\chi_{A  \cap (B \Delta C)} = \chi_{A} \chi_{B \Delta C} = \chi_{A} (\chi_B +\chi_C - 2 \chi_B \chi_C) =
\chi_A \chi_B + \chi_A \chi_C - 2(\chi_A \chi_B)(\chi_A \chi_C) = \chi_{(A \cap B) \Delta (A \cap C)}.

Deberíamos probar también que (A \Delta B) \cap C = (A \cap C) \Delta (B \cap C) pero al ser conmutativa la intersección no es necesario.

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