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Ejercicios de Teoría de la Medida (1)

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1. Sean y dos conjuntos. Probar que

.

Solución: Tenemos dos opciones. Podemos probarlo en base en las definiciones de las operaciones conjuntistas o podemos usar las funciones características. Recordemos que la función característica de un subconjunto de es una función real que tiene el valor 1 si y el valor cero si . Además sabemos que dos funciones características y son iguales si y sólo si los conjuntos y son iguales y conocemos las igualdades básicas:

,

,

,

.

Por lo que un pequeño cálculo nos lleva a

.

Pasamos a la prueba en cuestión. Vamos ver qué resulta de

.

Sólo hemos de desarrollar y el proceso es algo tedioso pero nos lleva a buen puerto:





2. Demostrar que

.

Solución: Vamos a emplear el método de las funciones características. En este caso




.

3. Sea una clase no vacía de subconjuntos de , tales que implica que y pertenecen a . Demostrar que es un anillo sobre .
Solución: Recordemos que un anillo de subconjuntos de es una clase no vacía de subconjuntos de cerrada para la unión y la diferencia de cada par de sus elementos. Por tanto, bastará hacer uso de los resultados de los problemas anteriores pues,si , entonces

,

.

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