Ejercicios de Teoría de la Medida (1)

1. Sean E y F dos conjuntos. Probar que

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F).

Solución: Tenemos dos opciones. Podemos probarlo en base en las definiciones de las operaciones conjuntistas o podemos usar las funciones características. Recordemos que la función característica \chi_A de un subconjunto A de X es una función real que tiene el valor 1 si x \in A y el valor cero si x \notin A. Además sabemos que dos funciones características \chi_A y \chi_B son iguales si y sólo si los conjuntos A y B son iguales y conocemos las igualdades básicas:

\chi_{A}^2 = \chi_{A},

\chi_{A \cup B} = \chi_{A}+\chi_{B} - \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A \cap B} = \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A - B} = \chi_{A}(1- \chi_{B}).

Por lo que un pequeño cálculo nos lleva a

\chi_{E \Delta F} = \chi_{E}+\chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}.

Pasamos a la prueba en cuestión. Vamos ver qué resulta de

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)}.

Sólo hemos de desarrollar y el proceso es algo tedioso pero nos lleva a buen puerto:

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)} = \chi_{E \Delta F} + \chi_{E \cap F}                    - 2 \chi_{E \Delta F} \chi_{E \cap F} =
(\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})+\chi_{E} \chi_{F}- 2((\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})(\chi_{E} \chi_{F}))=
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E}^2 \chi_{F}+\chi_{E} \chi_{F}^2-2 \chi_{E}^2 \chi_{R}^2) =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E} \chi_{F} +\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F})= \chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 \cdot 0 =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E \cup F}

2. Demostrar que

E - F = E \Delta (E \cap F).

Solución: Vamos a emplear el método de las funciones características. En este caso

\chi_{E \Delta (E \cap F)} = \chi_{E} +\chi_{E \cap F} - 2 \chi_{E} \chi_{E \cap F} =
\chi_{E} + \chi_{E} \chi_{F}- 2 ( \chi_{E} (\chi_{E} \chi_{F})) =
\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} - 2 \chi_{E}^2 \chi_{F} =\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}=
\chi_{E}-\chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E} (1-\chi_{F}) = \chi_{E-F}.

3. Sea \mathcal{R} una clase no vacía de subconjuntos de X, tales que E,F \in \mathcal{R} implica que E \cap F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución: Recordemos que un anillo de subconjuntos de X es una clase no vacía de subconjuntos de X cerrada para la unión y la diferencia de cada par de sus elementos. Por tanto, bastará hacer uso de los resultados de los problemas anteriores pues,si E,F \in \mathcal{R}, entonces

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R},

E - F = E \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R}.

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