MATEMATICAS.NET

Consultorio Matemático (11)

Anuncios

Consulta: Un vector de sentido contrario al vector v=(3,-4) y que tenga el módulo el doble.
Respuesta: Primero calculamos el módulo del vector dado. Resulta

.

Por tanto buscamos un vector de módulo 10 y que tenga sentido contrario al dado. Es decir, el ángulo entre ellos es de radianes. Sea dicho vector , entonces

.

El producto escalar entre dos vectores del espacio euclídeo puede darnos el ángulo entre ellos. Recordemos que si son vectores, su producto escalar es , donde es el ángulo mínimo formado entre ellos. Además, si y , su producto escalar es . Teniendo en cuenta lo que sabemos, resulta

.
Así pues, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que pasamos a resolver:

Esta ecuación de segundo grado se resuelve utilizando la conocida fórmula y obtenemos una única solución . Esto nos permite obtener el valor de mediante

.

El vector buscado es el . Pero existe una forma más “elegante” de resolver este problema utilizando números complejos. El vector (3.-4) se considera como el número complejo
,
donde es el módulo de dicho vector y es el ángulo menor de radianes que forma dicho vector con el eje de abscisas. En este caso,
,
donde
.
Si le sumamos radianes a este ángulo y ponemos por módulo 10 tenemos el vector buscado

.
Como sabemos que está en el IV cuadrante y que

,
tenemos que
,
,
que sustituidas dan
.

Anuncios