Consultorio Matemático (11)

Consulta: Un vector de sentido contrario al vector v=(3,-4) y que tenga el módulo el doble.
Respuesta: Primero calculamos el módulo del vector dado. Resulta

\sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt {9+16} =\sqrt{25} = 5.

Por tanto buscamos un vector de módulo 10 y que tenga sentido contrario al dado. Es decir, el ángulo entre ellos es de \pi radianes. Sea dicho vector (x,y), entonces

x^2+y^2 = 100.

El producto escalar entre dos vectores del espacio euclídeo puede darnos el ángulo entre ellos. Recordemos que si u,v son vectores, su producto escalar es u \cdot v  = |u| |v| \cos \theta, donde \theta es el ángulo mínimo formado entre ellos. Además, si u= (a,b) y v=(c,d), su producto escalar es u \cdot v = ac+bd. Teniendo en cuenta lo que sabemos, resulta

(x,y) \cdot (3, -4) = 3x-4y = 5 \cdot 10 \cos \pi = -50.
Así pues, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que pasamos a resolver:

x = \frac{1}{3} (4y-50)

(\frac{1}{3} (4y-50))^2+y^2 = 100

(\frac{1}{9} (16y^2-400y+2500)^2+y^2 = 100

16y^2-400y+2500+9y^2 = 900

25y^2-400y+1600 =0

Esta ecuación de segundo grado se resuelve utilizando la conocida fórmula y obtenemos una única solución y=8. Esto nos permite obtener el valor de x mediante

x = -6.

El vector buscado es el (x,y)=(-6,8). Pero existe una forma más “elegante” de resolver este problema utilizando números complejos. El vector (3.-4) se considera como el número complejo
z= r \exp^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta),
donde r es el módulo de dicho vector y \theta es el ángulo menor de \pi radianes que forma dicho vector con el eje de abscisas. En este caso,
z = 5 \exp^{i \theta},
donde
\theta = \arctan \frac{-4}{3}.
Si le sumamos \pi radianes a este ángulo y ponemos por módulo 10 tenemos el vector buscado
w = 10 \exp^{i (\pi+\theta)}= 10 (\cos (\pi+\theta)+i \sin (\pi+\theta)) =
10 (-\cos \theta -i \sin \theta).
Como sabemos que \theta está en el IV cuadrante y que
\cos \theta = \sqrt{ \frac{1}{1+\tan^2 (\theta)}}
\sin \theta = \sqrt{1- \cos^{2} (\theta)},
tenemos que
\cos \theta = -\sqrt{ \frac{1}{1+\frac{16}{9}}}= -3/5,
\sin \theta = \sqrt{1-\frac{9}{25}} =4/5 ,
que sustituidas dan
w= 10 (-3/5 + i 4/5)= -6+8i = (-6,8).

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