Consultorio Matemático (9)

Consulta: Cuando Ana salió de casa , las agujas del reloj formaban un ángulo agudo y faltaba una hora para que fuera recto. ¿Qué hora era?

Respuesta: Ufff… Aquí hay mucha más miga de lo que parece. En principio vamos a considerar el tiempo como continuo a efectos de cálculo y vamos a usar esta hipótesis para hallar las posiciones en las que el minutero y el horario forman un ángulo de 90 grados sexagesimales (o pi/2 radianes). Partimos de las doce en punto y consideramos esa hora como la referencia para nuestros cálculos. El ángulo lo medimos en sentido horario (pues es más cómodo).

reloj1

Como el minutero tarda justo una hora en dar una vuelta de 360 grados, su velocidad angular es de

\omega_m = \frac{360}{60} = 6 grados\minuto.

En cuando a la aguja horaria, tarda 3 horas en recorrer 90 grados y su velocidad angular es de

\omega_h = \frac{90}{180} = 0,5 grados\minuto

Es fácil ahora obtener el ángulo recorrido en un tiempo dado por ambas agujas. Sólo habrá que multiplicar la velocidad angular por el tiempo. Pero a nosotros nos interesa que la diferencia entre el ángulo recorrido por ambas sea 90 grados y así formen justamente un ángulo recto. Llamando \alpha_m al ángulo recorrido por el minutero a partir de las doce y \alpha_h al recorrido por la aguja horaria, tenemos:

\alpha_m - \alpha_h = 6t-\frac{1}{2}t = 90

\frac{11}{2}t = 90

t = \frac{2 90}{11} = \frac{180}{11} = 16,36363636 ... minutos

Es decir, a las doce y 16 minutos y 21,818181…. segundos.

reloj2

Pero al tener una separación angular de 270 grados volvemos a tener un ángulo recto (aunque medido en sentido usual o antihorario). Es decir

\frac{11}{2}t = 270

t = \frac{2 \cdot 270}{11} = \frac{540}{11} = 49,090909 ... minutos

Esto es a las 12 y 49 minutos y 5,45454…. segundos

reloj3

Siguiendo con este razonamiento escribimos

\frac{11}{2}t = (2k+1) 90, k=0,1,2, ...

t = \frac{180}{11} (2k+1), k=0,1,2, ...

Obviamente, el proceso es cíclico y nos interesa ver cuándo se repite. Esto ocurrirá si al poner un valor de k llegamos a superar el de valor de t = 720 minutos (es decir, 12 horas). Con esto en mente, vemos que las soluciones son

t = \frac{180}{11} (2k+1) \leq 720,

k \leq (720 \frac{11}{180}-1) /2,

0 \leq k \leq 21,

Así pues hay 22 posibilidades en 12 horas con un reloj que mide forma “continua” el tiempo. Entre ellas están las 3 y las 9 que son las únicas soluciones enteras. Esto nos muestra que una hora hay dos posiciones posibles a excepción de la hora entre las dos y las tres y las ocho y las nueve donde sólo hay una. ¿Pero qué pasa si el reloj sólo marca los minutos exactos? En ese caso sólo tenemos a las tres y a las nueve como únicas soluciones y para que el ángulo agudo sea una hora antes sólo es posible que salga a las dos (de la tarde o la mañana) y llegue a las tres (de la tarde o la mañana).

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