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Consultorio Matemático (7)

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Consulta: Tengo que averiguar la distancia f(x) = √(4x² + x + 1)
\”P\” el punto del gráfico F de abscisas y \”Q\” = (0,-1).
Respuesta: Creo que lo que buscas es la distancia entre la gráfica de la función y un punto dado. Supondré que es así y desarrollaré la explicación en base a esto.

En primer lugar, la distancia euclídea entre dos puntos P y Q es la norma del vector PQ. Esto es, si y , se tiene que

.

En este caso obtenemos una expresión donde Q es (0,-1) y P es un punto de la curva . En concreto, resulta una expresión que depende sólo de :

.

Debemos buscar el valor mínimo de esta expresión. ¿Por qué? Pues porque la distancia entre punto y curva se entiende como la distancia mínima entre ellos. Para facilitar el cálculo, elevamos d al cuadrado pues el mínimo alcanzado en su cuadrado corresponderá al mínimo de d:

.

En este punto utilizaremos el cálculo diferencial. Derivamos la función :

.

Igualamos a cero y resolvemos:

,

,

,

,

,

,

,

La solución no es la única (además no va a ser la solución), existe una solución real de la ecuación

pero no es sencillo obtenerla. Debes conocer algo de números complejos y usar una fórmula para la ecuación de tercer grado. Como no sé si esto lo conoces, voy a dar una imagen de la curva para que te hagas una idea:

El punto más cercano de la curva a (0,-1) tiene una abscisa que está entre -1 y 0 (distancia d) mientras que el punto de abscisa 0 dista d’ que es un “poco” más. En una próxima entrada hablaré de cómo se resuelve la ecuación de tercer grado y podremos terminarlo. Puedes mirar también en:
Distancia mínima a una parábola.

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