Consultorio Matemático (7)

Consulta: Tengo que averiguar la distancia f(x) = √(4x² + x + 1)
\”P\” el punto del gráfico F de abscisas y \”Q\” = (0,-1).
Respuesta: Creo que lo que buscas es la distancia entre la gráfica de la función y un punto dado. Supondré que es así y desarrollaré la explicación en base a esto.

En primer lugar, la distancia euclídea entre dos puntos P y Q es la norma del vector PQ. Esto es, si P=(x,y) y Q =(z,t), se tiene que

d(P,Q) = \sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}.

En este caso obtenemos una expresión donde Q es (0,-1) y P es un punto de la curva y =\sqrt{4x^2+x+1}. En concreto, resulta una expresión que depende sólo de x:

d(x) = \sqrt{(x-0)^2+(\sqrt{4 x^2+x+1}+1)^2}.

Debemos buscar el valor mínimo de esta expresión. ¿Por qué? Pues porque la distancia entre punto y curva se entiende como la distancia mínima entre ellos. Para facilitar el cálculo, elevamos d al cuadrado pues el mínimo alcanzado en su cuadrado corresponderá al mínimo de d:

h(x) =d(x)^2 = (x-0)^2+(\sqrt{4 x^2+x+1}+1)^2.

En este punto utilizaremos el cálculo diferencial. Derivamos la función h(x):

h' = 2x + \frac{(8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1)}{\sqrt{4 x^2+x+1}}.

Igualamos a cero y resolvemos:

2x + \frac{(8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1)}{\sqrt{4 x^2+x+1}} = 0,

2x (\sqrt{4 x^2+x+1})+ (8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1) = 0,

(10x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1})+  (8x+1) = 0,

(10x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1})= - (8x+1),

(10x+1)^2 (4 x^2+x+1)=  (8x+1)^2,

(100 x^2+20x+1) (4 x^2+x+1)=  (64x^2+16x+1),

x(80x^3+36x^2+12x+1) = 0,

La solución x=0 no es la única (además no va a ser la solución), existe una solución real de la ecuación

(80x^3+36x^2+12x+1) = 0

pero no es sencillo obtenerla. Debes conocer algo de números complejos y usar una fórmula para la ecuación de tercer grado. Como no sé si esto lo conoces, voy a dar una imagen de la curva para que te hagas una idea:

wguwi9gsfe

El punto más cercano de la curva a (0,-1) tiene una abscisa que está entre -1 y 0 (distancia d) mientras que el punto de abscisa 0 dista d’ que es un “poco” más. En una próxima entrada hablaré de cómo se resuelve la ecuación de tercer grado y podremos terminarlo. Puedes mirar también en:
Distancia mínima a una parábola.

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