Consultorio Matemático (6)

Consulta: Pasos para escribir un intervalo o una unión de intervalos y representarla en la recta real. ¿Debo resolver la inecuación? Ej: \{ x \in \mathbb{R} : 3x+2 \leq -x- 5 \}

Respuesta: Voy a responderte resolviendo la inecuación o lo que lo es lo mismo expresando de forma explícita el conjunto que has indicado en tu pregunta. La inecuación es de primer grado y su resolución sigue estos pasos:

1. Agrupamos las incógnitas en un lado de la inecuación y el resto de sumandos al otro

3x+x \leq -5-2

2. Operamos y despejamos

4x \leq -7

x \leq -\frac{7}{4}

El resultado es el intervalo ]-\infty, -\frac{7}{4}]. Este caso es relativamente sencillo y no responde del todo a tu consulta. Vamos a ver un caso más complicado.

Sea la inecuación x^2-1 <3. Se trata de una expresión de segundo grado y debemos ponerla en “forma normal”

x^2-1-3 <0 \rightarrow x^2-4 <0.

Ahora resolvemos la ecuación asociada: x^2-4 = 0, que tiene las soluciones reales x= -2 y x =2. Estos valores nos llevan a considerar los intervalos (debido a que la desigualdad es estricta no tomo los extremos):

]-\infty, -2[, ]-2, 2[, ]2,\infty[.

Ahora tomamos un punto p de cada intervalo y calculamos el signo de p^2-4. Vemos que esta expresión es positiva en ]-\infty, -2[ y en ]2, \infty[ por lo que la solución es la unión de estos dos intervalos. El siguiente gráfico aclara este punto

lkzamyceln

Como ves la parte de la gráfica situada por encima del eje de abscisas (eje de las x) es la que corresponde a las abscisas situadas en los intervalos que hemos obtenido.

El tema de las inecuaciones es bastante amplio pero si consideras sólo las de tipo polinómico o racional se pueden tratar de forma similar a lo ya visto. Para ampliar puedes ver los siguientes enlaces

Enlace 1
Enlace 2

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