Formas cuadráticas (4 y final)

Daremos un ejemplo de forma bilineal simétrica:

Consideremos E=\mathbb{R}^{2} y sea la forma bilineal simétrica definida sobre \mathbb{R}^{2} mediante f((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}))= x_{1} y_{1} + 2 x_{2} y_{2}. Su matriz respecto a la base canónica es

matriz4

Por tanto, la expresión matricial queda

matriz5

La forma cuadrática asociada q es q(x_{1},x_{2})= x_{1}^{2} +2 x_{2}^{2}, que expresada en forma matricial es

matriz6

Como hemos visto en el ejemplo anterior, las formas cuadráticas tienen expresiones analíticas en la base canónica que resultan ser polinomios homogéneos de grado n (en el ejemplo, es de grado 2). El resultado recíproco es también cierto como pasamos a probar.

Teorema 1. Todo polinomio homogéneo de grado 2 en n variables x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} y coeficientes reales puede considerarse como la expresión analítica de una forma cuadrática definida en el espacio vectorial real \mathbb{R}^{n}.

Demostración. Sea p(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = \sum_{ij=1, i< j}^{n} \lambda_{ij} x_{i}x_{j} un polinomio homogéneo de grado 2 con coeficientes \lambda_{ij} reales. Definimos la matriz cuadrada A=(a_{ij}) de orden n mediante

matriz7

Esta matriz es simétrica (por su misma construcción) y la aplicación q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, definida por

matriz8

es una forma cuadrática expresada en forma matricial respecto de la base canónica. Esto termina nuestra demostración.

Las formas cuadráticas ofrecen resultados numéricos, por ello es interesante hallar el signo de tales resultados.

Definición 1. Una forma cuadrática q: E \rightarrow K se dice definida positiva si q(u) \geq 0 para todo u \in E y $q(u)=0$ si y sólo si u=0.
Definición 2. Una forma cuadrática q: E \rightarrow K se dice definida negativa si q(u) \leq 0 para todo u \in E y q(u)=0 si y sólo si u=0.
Definición 3. Una forma cuadrática q: E \rightarrow K se dice semidefinida positiva si q(u) \geq 0 para todo u \in E y existe al menos un u \neq 0 tal que q(u)=0.
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