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Formas cuadráticas (3)

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Seguimos con algunos resultados más.

Teorema 1. Sea un espacio vectorial de dimensión finita, , sobre un cuerpo y sea una base de . Toda forma bilineal es simétrica si y sólo si, su matriz respecto a la base es simétrica.

Demostración. Supongamos que es simétrica. En tal caso la matriz verifica y resulta una matriz simétrica. Análogamente, si la matriz es simétrica, entonces

lo que prueba que la forma bilineal es simétrica. Aquí termina nuestra demostración.

A continuación vamos a determinar cómo afecta el cambio de base a la expresión matricial de una forma bilineal.

Teorema 2. Sea un espacio vectorial de dimensión finita, , sobre un cuerpo y sean y bases de . Sea también una forma bilineal con matriz respecto a la base . Si es la matriz de paso de a , entonces la matriz de respecto a la base es

Demostración. Como es la matriz de paso de latex $B$ a tenemos que , para todo , por lo que podemos escribir

Esto significa que la matriz es la correspondiente a la forma bilineal en la base . Esto termina nuestra demostración.

Recordemos que dos matrices cuadradas de la misma dimensión y se dicen congruentes si existe una matriz , tal que . Así pues, todas las matrices correspondientes a una misma forma bilineal en distintas bases son congruentes entre sí.

Vamos a definir ya lo que entendemos por forma cuadrática.

Definición 1. Sea una forma bilineal simétrica. La aplicación , dada por se denomina forma cuadrática asociada a .

En el caso de trabajar en espacios vectoriales de dimensión finita, resulta sencillo obtener la expresión matricial de una forma cuadrática a partir de la expresión matricial de la forma bilineal a la que está asociada. Así si , tenemos que , siendo una matriz simétrica.

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