Formas cuadráticas (3)

Seguimos con algunos resultados más.

Teorema 1. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo K y sea B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}) una base de E. Toda forma bilineal f: E \times E \rightarrow K es simétrica si y sólo si, su matriz A respecto a la base B es simétrica.

Demostración. Supongamos que f: E \times E \rightarrow K es simétrica. En tal caso la matriz A= (f(u_{j}, u_{i})) verifica A^{T} = (f(u_{j}, u_{i}))^{T} = (f(u_{i}, u_{j}) )= (f(u_{j},u_{i}))= A y resulta una matriz simétrica. Análogamente, si la matriz A= (f(u_{j}, u_{i})) es simétrica, entonces

f(u,v) = u_{B} A (v_{B})^{T} = (u_{B} A (v_{B})^{T})^{T} = v_{B} A^{T} (u_{B})^{T} = v_{B} A (u_{B})^{T} = f(v,u)

lo que prueba que la forma bilineal es simétrica. Aquí termina nuestra demostración.

A continuación vamos a determinar cómo afecta el cambio de base a la expresión matricial de una forma bilineal.

Teorema 2. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo K y sean B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}) y B'=(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) bases de E. Sea también una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K con matriz A respecto a la base B. Si P es la matriz de paso de B a B', entonces la matriz de f respecto a la base B' es P A P^{T}

Demostración. Como P es la matriz de paso de latex $B$ a B' tenemos que u_{B'}P = u_{B}, para todo u \in E, por lo que podemos escribir

f(u,v)=  u_{B} A (v_{B})^{T} =  u_{B'} P  A (v_{B'}P )^{T} = u_{B'} P  A  P^{T} (v_{B'} )^{T}

Esto significa que la matriz P  A  P^{T} es la correspondiente a la forma bilineal en la base B'. Esto termina nuestra demostración.

Recordemos que dos matrices cuadradas de la misma dimensión A y B se dicen congruentes si existe una matriz P, tal que B = P A P^{T}. Así pues, todas las matrices correspondientes a una misma forma bilineal en distintas bases son congruentes entre sí.

Vamos a definir ya lo que entendemos por forma cuadrática.

Definición 1. Sea f: E \times E \rightarrow K una forma bilineal simétrica. La aplicación q: E \rightarrow K, dada por q(u)=f(u,u) se denomina forma cuadrática asociada a f.

En el caso de trabajar en espacios vectoriales de dimensión finita, resulta sencillo obtener la expresión matricial de una forma cuadrática a partir de la expresión matricial de la forma bilineal a la que está asociada. Así si f(u,v) = u_{B} A (v_{B})^{T}, tenemos que q(u) = u_{B} A (u_{B})^{T}, siendo A una matriz simétrica.

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