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Formas cuadráticas (2)

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Vamos a ver ahora la expresión de una forma bilineal definida sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas.

Teorema 1. Sean y dos -espacios vectoriales de dimensiones y , respectivamente, y sean una base de y una base de . Entonces, dada una forma bilineal existe una y sólo una matriz de dimensiones tal que

Demostración. Expresando los vectores e mediante las bases respectivas y y aplicando la condición de bilinealidad, tenemos

Llamando , para tenemos

Si es la matriz formada por los valores , se tiene que por construcción es única y cumple las condiciones del teorema. Esto termina nuestra demostración.

Utilizando los resultados del teorema anterior, podemos expresar matricialmente las formas bilineales sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas. En efecto, si y son espacios vectoriales de dimensiones y , respectivamente, sobre un mismo cuerpo y es una base de y una base de , toda forma bilineal se puede expresar mediante

.

donde es el vector fila formado por las coordenadas de en la base , , el vector fila formado por las coordenadas de en la base y es la matriz de en las bases y , de dimensiones y componentes . En el caso de que y , es usual escoger una misma base y, entonces la matriz es cuadrada de orden .

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