Formas cuadráticas (2)

Vamos a ver ahora la expresión de una forma bilineal definida sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas.

Teorema 1. Sean E y F dos K-espacios vectoriales de dimensiones m y n, respectivamente, y sean B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{m}) una base de E y B'= (v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) una base de F. Entonces, dada una forma bilineal f: E \times F \rightarrow K existe una y sólo una matriz A=(a_{ji}) de dimensiones mn tal que
matriz1

Demostración. Expresando los vectores x \in E e y \in F mediante las bases respectivas B y B' y aplicando la condición de bilinealidad, tenemos

matriz2

Llamando f(u_{j}, v_{i} ) = a_{ji}, para (j,i) \in \{1, 2, \cdots, m \} \times \{1,2, \cdots, n \} tenemos

matriz3

Si A=(a_{ji}) es la matriz mn formada por los valores a_{ji} =f(u_{j},v_{i}), se tiene que por construcción es única y cumple las condiciones del teorema. Esto termina nuestra demostración.

Utilizando los resultados del teorema anterior, podemos expresar matricialmente las formas bilineales sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas. En efecto, si E y F son espacios vectoriales de dimensiones m y n, respectivamente, sobre un mismo cuerpo K y B=(u_{1}, \cdots u_{m}) es una base de E y B'=(v_{1}, \cdots, v_{n}) una base de F, toda forma bilineal f: E \times F \rightarrow K se puede expresar mediante

f(u,v) = u_{B} A (v_{B'})^{T}.

donde u_{B} es el vector fila formado por las coordenadas de u en la base B, v_{B'}, el vector fila formado por las coordenadas de v en la base B' y A es la matriz de f en las bases B y B', de dimensiones mn y componentes f(u_{j},v_{i}). En el caso de que E=F y \dim(E)=n, es usual escoger una misma base B y, entonces la matriz A = (f(u_{j},u_{i})) es cuadrada de orden n.

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