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Consultorio Matemático (5)

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Consulta: Demostrar que un número multiplicado por cero es cero.
Respuesta: Aunque la pregunta es clara y sencilla la respuesta pasa por conocer una serie de fundamentos de álgebra. Primero vamos a escoger la estructura algebraica más sencilla para la que este enunciado es cierto.

Decimos que un conjunto dotado de dos operaciones o leyes de composición interna que indicaremos de forma aditiva y multiplicativa, es un anillo si respecto a la operación aditiva es un grupo abeliano, respecto a la ley multiplicativa es asociativa y la ley multiplicativa es distributiva respecto a la aditiva. Es decir, para cualesquiera de

(1)
(2)
(3) , donde es el cero o neutro aditivo (este es el que te interesa)
(4) Para todo existe tal que
(5)
(6)
(7)

Ahora probaremos que si estas propiedades son ciertas, entonces para cualquier . En primer lugar, vemos que

si nos fijamos en la propiedad distributiva (6). Pero tenemos que por la propiedad (3). Por tanto, podemos escribir

.

Ahora utilizando la existencia de elemento simétrico (4) y la propiedad asocitaiva (1) vemos que

.

.

Esto es, . La demostración de que es análoga.

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