Consultorio Matemático (5)

Consulta: Demostrar que un número multiplicado por cero es cero.
Respuesta: Aunque la pregunta es clara y sencilla la respuesta pasa por conocer una serie de fundamentos de álgebra. Primero vamos a escoger la estructura algebraica más sencilla para la que este enunciado es cierto.

Decimos que un conjunto A dotado de dos operaciones o leyes de composición interna que indicaremos de forma aditiva y multiplicativa, es un anillo si respecto a la operación aditiva es un grupo abeliano, respecto a la ley multiplicativa es asociativa y la ley multiplicativa es distributiva respecto a la aditiva. Es decir, para cualesquiera a,b,c de A

(1) (a+b)+c = a+(b+c)
(2) a+b = b+a
(3) a+0 = a, donde 0 es el cero o neutro aditivo (este es el que te interesa)
(4) Para todo a existe -a \in A tal que a+(-a) = 0
(5) (ab)c= a(bc)
(6) a(b+c) = ab+ac
(7) (a+b)c = ac+bc

Ahora probaremos que si estas propiedades son ciertas, entonces 0a = a0 = 0 para cualquier a \in A. En primer lugar, vemos que

a (0+0) = a0 +a0

si nos fijamos en la propiedad distributiva (6). Pero tenemos que 0+0 = 0 por la propiedad (3). Por tanto, podemos escribir

a (0+0) = a0 = a0 +a0.

Ahora utilizando la existencia de elemento simétrico (4) y la propiedad asocitaiva (1) vemos que

a0-a0 = (a0 +a0)-a0.

0 = (a0 +a0)-a0 = a0 +(a0-a0) = a0+0 = a0.

Esto es, 0 = a0. La demostración de que 0a = 0 es análoga.

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