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Formas cuadráticas (1)

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Consideremos tres espacios vectoriales , y , todos sobre el mismo cuerpo conmutativo . Una aplicación

se dice que es bilineal si para cada y cada , las restricciones

,

,

son aplicaciones lineales. Esto es equivalente a afirmar que para cada pertenecientes al cuerpo y para cada y cada , se tiene que

,

.

Consideremos los espacios vectoriales y , todos sobre el cuerpo de los números reales. La aplicación , definida por

es bilineal. En efecto, si restringimos a un valor fijo, la aplicación resultante es lineal y lo mismo ocurre si restringimos a un valor fijo. Esta aplicación bilineal se llamará degenerada o trivial.

Definición 1. Sean y dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo y consideremos el espacio vectorial usual formado por el cuerpo sobre sí mismo. Toda aplicación bilineal se llamará forma bilineal.

Observemos que en las formas bilineales las imágenes son siempre valores del cuerpo .
La aplicación

dada por

es una forma bilineal. En efecto, sea fijo, la restricción a dicho valor resulta la aplicación

la cual es lineal y el lector puede comprobar que también lo es la restricción a cualquier . Obsérvese que esta forma bilineal no es más que el producto escalar.

Definición 2. Una forma bilineal se dice simétrica si para todos .
Definición 3. Una forma bilineal se dice antisimétrica o alternada si para todos .

Obsérvese que en la definición de formas simétricas y antisimétricas hemos considerado sólo formas bilineales donde los espacios vectoriales que forman el dominio son el mismo. El siguiente resultado nos proporciona una condición equivalente para el carácter alterno de una forma bilineal.

Teorema 1. Una forma bilineal es alternada si y sólo si

Demostración. Supongamos que es alternada, entonces tomando , tenemos que , de donde

.

Lo que nos lleva a concluir que . Recíprocamente, si para todo , entonces haciendo , sería , de donde . Esto termina nuestra demostración.

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