Formas cuadráticas (1)

Consideremos tres espacios vectoriales E, F y G, todos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Una aplicación

f: E \times F \rightarrow G

se dice que es bilineal si para cada x \in E y cada y \in F, las restricciones

f_{x} : F \rightarrow G ,\quad f_{x}(y) =f(x,y),

f_{y} : E \rightarrow G,\quad f_{y}(x) =f(x,y),

son aplicaciones lineales. Esto es equivalente a afirmar que para cada \alpha, \beta pertenecientes al cuerpo K y para cada x, x' \in E y cada y, y' \in F, se tiene que

f(\alpha x + \beta x', y ) = \alpha f(x,y)+ \beta f(x',y),

f(x,\alpha y+ \beta y') = \alpha f(x,y)+ \beta f(x,y').

Consideremos los espacios vectoriales E=F=\mathbb{R}^{2} y G=\mathbb{R}^{3}, todos sobre el cuerpo de los números reales. La aplicación f:\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por

f((x,y), (u,v)) = (0, 0, 0)

es bilineal. En efecto, si restringimos f a un valor (x_{0},y_{0}) fijo, la aplicación resultante f(u,v) = (0, 0, 0) es lineal y lo mismo ocurre si restringimos f a un valor (u_{0}, v_{0}) fijo. Esta aplicación bilineal se llamará degenerada o trivial.

Definición 1. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y consideremos el espacio vectorial usual formado por el cuerpo K sobre sí mismo. Toda aplicación bilineal f: E \times F \rightarrow K se llamará forma bilineal.

Observemos que en las formas bilineales las imágenes son siempre valores del cuerpo K.
La aplicación

f:\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}

dada por

f((x,y),(u,v)) = xu+yv

es una forma bilineal. En efecto, sea (x_{0}, y_{0}) fijo, la restricción a dicho valor resulta la aplicación

f_{(x_{0},y_{0})}(u,v) = x_{0}u+y_{0}v

la cual es lineal y el lector puede comprobar que también lo es la restricción a cualquier (u_{0}, v_{0}). Obsérvese que esta forma bilineal no es más que el producto escalar.

Definición 2. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K se dice simétrica si f(x,y)=f(y,x) para todos (x,y) \in E \times E.
Definición 3. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K se dice antisimétrica o alternada si f(x,x)=0 para todos x \in E.

Obsérvese que en la definición de formas simétricas y antisimétricas hemos considerado sólo formas bilineales donde los espacios vectoriales que forman el dominio son el mismo. El siguiente resultado nos proporciona una condición equivalente para el carácter alterno de una forma bilineal.

Teorema 1. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K es alternada si y sólo si f(x,y) = -f(y,x)

Demostración. Supongamos que f es alternada, entonces tomando x,y \in E, tenemos que f(x+y, x+y) = 0, de donde

0=f(x+y,x+y) = f(x,x+y)+f(y,x+y) =

f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y) =

0+f(x,y)+f(y,x)+0 = f(x,y)+f(y,x).

Lo que nos lleva a concluir que f(x,y) = -f(y,x). Recíprocamente, si f(x,y) = -f(y,x) para todo x,y \in E, entonces haciendo x=y, sería f(x,x) = -f(x,x), de donde f(x,x)=0. Esto termina nuestra demostración.

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