Consultorio matemático. Primera duda resuelta

A partir de ahora voy a responder a ciertas dudas del consultorio de matematicas.net en esta página. Empecemos.

Consulta: Buenas, me piden encontrar el área de la región definida por y=x^3-3x y g=5x mediante integrales y no se ni por donde empezar, espero que me podáis ser de ayuda.

Muchas gracias de antemano.

Respuesta: Debes calcular los puntos de corte entre las funciones dadas. Es decir, resolver el sistema

x^3-3x = 5x.

Simplificando obtenemos

x(x^2-8) = 0,

cuyas soluciones son x = 0, \sqrt{8} y -\sqrt{8}. Ahora bien, debemos ver en qué posición están las gráficas entre dichos puntos. Para eso nada mejor que dibujarlas (me ayudo de desmos graphic calculator):

Ahora planteamos las integrales a calcular, que son

| \int_{-\sqrt{8}}^{0} (x^3-3x-5x) dx |,

|\int_{0}^{\sqrt{8}} 5x -(x^3-3x) dx |.

Pero claramente el área a calcular es el resultado de un proceso simétrico ya que las porciones de área a ambos lados del eje de ordenadas son iguales, por lo que bastará calcular

2 |\int_{0}^{\sqrt{8}} 5x-(x^3-3x) dx |.

El cálculo de esta integral es sencillo y su resultado es A = 2* 16 = 32, que es el área buscada en unidades de superficie.

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