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Estructuras de Dynkin

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Consideremos un conjunto no vacío y sea una familia no vacía de subconjuntos de . Decimos que es un -sistema o un sistema de Dynkin si verifica:

(a) pertenece a .
(b) Si es un elemento de , su complementario también pertenece a .
(c) es cerrado para la unión numerable disjunta de sus elementos.

Precisemos un poco más la condición (c). Si es una sucesión de elementos pertenecientes a y tales que para cada , su unión es lo que llamamos una unión disjunta.

Si es un sistema de Dynkin sobre , se tiene que . Por lo tanto, todo sistema de Dynkin contiene al conjunto vacío y es fácil ver que obtenemos una definición equivalente si cambiamos por en la condición (a).

También podemos probar que todo sistema de Dynkin es cerrado para la diferencia propia. Esto es, si y son elementos de un sistema de Dynkin y tales que , entonces también es un elemento del mismo sistema. En efecto, el conjunto pertenece a (pues es unión disjunta de elementos de ) por lo que su complementario

pertenece a . Es sencillo comprobar que si sustituimos la condición (b) por la condición de cierre para diferencias propias obtenemos una definición equivalente de sistema de Dynkin.

La importancia de los sistemas de Dynkin estriba en que son una forma relativamente sencilla de obtener sigma-álgebras. Esto lo veremos en próximas entradas.

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