Estructuras de Dynkin

Consideremos un conjunto no vacío X y sea \mathcal{D} una familia no vacía de subconjuntos de X. Decimos que \mathcal{D} es un \lambda-sistema o un sistema de Dynkin si verifica:

(a) X pertenece a \mathcal{D}.
(b) Si A es un elemento de \mathcal{D}, su complementario X-A también pertenece a \mathcal{D}.
(c) \mathcal{D} es cerrado para la unión numerable disjunta de sus elementos.

Precisemos un poco más la condición (c). Si A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots es una sucesión de elementos pertenecientes a \mathcal{D} y tales que A_i \cap A_j = \emptyset para cada i \neq j, su unión \cup_{i=1}^{\infty} A_i es lo que llamamos una unión disjunta.

Si \mathcal{D} es un sistema de Dynkin sobre X, se tiene que \emptyset = X-X \in \mathcal{D}. Por lo tanto, todo sistema de Dynkin contiene al conjunto vacío y es fácil ver que obtenemos una definición equivalente si cambiamos X por \emptyset en la condición (a).

También podemos probar que todo sistema de Dynkin es cerrado para la diferencia propia. Esto es, si A y B son elementos de un sistema de Dynkin \mathcal{D} y tales que A \subset B, entonces B-A también es un elemento del mismo sistema. En efecto, el conjunto B^{c} \cup A pertenece a \mathcal{D} (pues es unión disjunta de elementos de \mathcal{D}) por lo que su complementario

(B^{c} \cup A)^{c} = B \cap A^{c} = B-A

pertenece a \mathcal{D}. Es sencillo comprobar que si sustituimos la condición (b) por la condición de cierre para diferencias propias obtenemos una definición equivalente de sistema de Dynkin.

La importancia de los sistemas de Dynkin estriba en que son una forma relativamente sencilla de obtener sigma-álgebras. Esto lo veremos en próximas entradas.

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