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Estructuras de conjuntos pi-estables (2)

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En una entrada anterior, hablamos de la -estabilidad de las clases de conjuntos. Mencionamos que una clase no vacía de partes de un conjunto con una estructura determinada por las conocidas operaciones de intersección, unión y diferencia, resulta ser -estable respecto a dicha estructura si la intersección de cualquier familia de clases con dicha estructura da lugar a una familia con la misma estructura. Esto es muy deseable pues permite garantizar que dada una clase cualquiera no vacía (sin estructura previa) podemos encontrar una clase -estable que la contiene.

Las estructuras de -sistema, semianillo y semiálgebra no son -estables. Como todo semianillo y semiálgebra son -sistemas, bastará probarlo para este caso. Pero antes recordemos que una clase no vacía de partes de un conjunto es un -sistema si y sólo si es cerrada para la intersección finita. Si tenemos una familia de -sistemas sobre un mismo conjunto no podemos garantizar que sea no vacío. En efecto, bastará dar un contraejemplo. Sean subconjuntos de tales que , y y son disjuntos. Entonces las familias , son -sistemas disjuntos. Su intersección es obviamente vacía.

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