Estructuras de conjuntos pi-estables (2)

En una entrada anterior, hablamos de la \pi-estabilidad de las clases de conjuntos. Mencionamos que una clase no vacía \mathcal{R} de partes de un conjunto X con una estructura determinada por las conocidas operaciones de intersección, unión y diferencia, resulta ser \pi-estable respecto a dicha estructura si la intersección de cualquier familia de clases (\mathcal{R}_{i})_{i \in I} con dicha estructura da lugar a una familia con la misma estructura. Esto es muy deseable pues permite garantizar que dada una clase cualquiera no vacía (sin estructura previa) podemos encontrar una clase \pi-estable que la contiene.

Las estructuras de \pi-sistema, semianillo y semiálgebra no son \pi-estables. Como todo semianillo y semiálgebra son \pi-sistemas, bastará probarlo para este caso. Pero antes recordemos que una clase no vacía de partes de un conjunto X es un \pi-sistema si y sólo si es cerrada para la intersección finita. Si tenemos una familia (\mathcal{S}_{i})_{i \in I} de \pi-sistemas sobre un mismo conjunto X no podemos garantizar que \cap_{i \in I} S_{i} sea no vacío. En efecto, bastará dar un contraejemplo. Sean A,B,C,D subconjuntos de X tales que A \cap B \neq \emptyset, C \cap D \neq \emptyset y A \cup B y C \cup D son disjuntos. Entonces las familias \{A,B, A \cap B \}, \{C,D, C \cap D \} son \pi-sistemas disjuntos. Su intersección es obviamente vacía.

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