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Sumas según leyes de Pascal y el infinito

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Consideremos una sucesión finita de números naturales:

Podemos formar una nueva sucesión finita mediante la siguiente regla:

, para

Es decir, si partimos de números obtendremos un total de números en la siguiente sucesión. Si representamos por a la sucesión que se obtiene de aplicar la regla anterior, diremos que es la sucesión suma según ley de Pascal de . Es evidente que el operador se puede reiterar indefinidamente. Es decir, podemos obtener

Cada nueva sucesión tiene un elemento más que la anterior (pero todas son finitas). Un ejemplo de este tipo de proceso lo tenemos en el conocido triángulo de Pascal (o de Tartaglia). Para construirlo partimos de una sucesión con un sólo elemento:
,
aplicamos el operador
,
de nuevo aplicamos
,
y así sucesivamente. Para facilitar los cálculos se suelen disponer los números al “tresbolillo”. Es decir

Como el lector seguramente conoce, estos números del triángulo de Pascal son los coeficientes del binomio de Newton y además pueden expresarse en forma de números combinatorios. Existen muchísimas más propiedades en este aparantemente sencillo triángulo (ver aquí) pero no las mencionaremos de momento. Sólo nos interesa ver una curiosidad de las sucesiones obtenidas según esta ley de Pascal. Supongamos que tenemos una sucesión infinita de números naturales formada por un número finito de valores diferentes de cero. Esto es, todos los términos de la sucesión son ceros menos un número finito. Por ejemplo, la sucesión formada sólo por ceros:

o la sucesión

donde el segundo y el tercer término son unos, son sucesiones de este tipo. ¿Qué ocurre si aplicamos el operador P a este tipo de sucesiones? En primer lugar, habrá que modificar la ley en la forma

para

para considerar sucesiones infinitas (pues no tienen un último término). Veamos ahora un ejemplo. Sea la sucesión dada por

Entonces

Si seguimos reiterando y colocamos las distintas sucesiones al “tresbolillo”, obtenemos el triángulo de Pascal “inmerso” en una matriz infinita. ¿Qué ocurrirá con otras sucesiones de este tipo? Claramente, la existencia de cualquier valor no nulo hará que esta “anomalía” se propague en la siguiente sucesión y dé lugar a sucesiones cada vez menos enrarecidas. Sin embargo, todas ellas seguirán teniendo una infinidad de ceros y un número finito de valores no nulos. La prueba de esta afirmación es sencilla y la dejamos al cuidado del lector.

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