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Curso EVT. Lectura 29. Aclaración sobre combinaciones lineales

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El concepto clásico de combinación lineal involucra a un número finito de vectores de un espacio vectorial (o módulo). Esto es, si es un espacio vectorial sobre un cuerpo y es un subconjunto finito de , decimos que es combinación lineal de elementos de , si existen escalares (elementos de ): , tales que

Utilizando este concepto de combinación lineal finita podemos explicar la dependencia lineal. Así, decimos que un vector depende linealmente de un subconjunto si y sólo si existe un subconjunto finito de tal que es combinación lineal de los elementos de . Pero, ¿cómo extender estas ideas a familias infinitas de vectores?. Pues es razonable suponer que sólo se puede hacer cuando la combinación lineal se puede considerar finita. Para ello, haremos uso de la conocida propiedad para todo , donde es el neutro aditivo del cuerpo . En efecto, diremos que una familia de escalares es casi toda nula si el conjunto de los tales que es finito. Es decir, sólo hay un número finito de escalares no nulos. Diremos entonces que un vector es combinación lineal de elementos de la familia si existe una familia de escalares casi toda nula, tal que

Esto nos permite ahora hablar de la dependencia lineal de una manera “más amplia”. Diremos que un vector depende linealmente de un conjunto si existe una familia de elementos de tal que es combinación lineal de elementos de . También podemos generalizar la independencia lineal y con ello el concepto de base. En este sentido, diremos que una relación lineal entre los elementos de una familia es cualquier familia de escalares , casi todos nulos, tales que

Si la única relación lineal posible entre los elementos de la famlia es la formada por los escalares para todo , diremos entonces que la familia es libre. Una base de es una familia libre que además tiene la propiedad de que todo es combinación lineal de elementos de dicha familia.

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