Notaciones de Landau

Recuerdo que en análisis matemático elemental es muy socorrido el cálculo de límites de funciones reales de variable real mediante sustituciones asintóticas. Esto es algo así como sustituir una cantidad por otra si sabemos que en el límite ambas son “casi” lo mismo. En realidad, se trata de hacer comparaciones en el paso al límite y tales comparaciones pueden arrojar los más diversos resultados (no solo la equivalencia). Vamos pues a dar una visión de lo que se entiende por notaciones de Landau o notaciones “o pequeña” y “O grande”, pues estas notaciones nos permiten una visión amplia de estas comparaciones.

Consideremos dos funciones reales de variable real f y g, ambas definidas sobre dominios D y E, respectivamente, y sea p un punto tal que existe una bola abierta B(p;r), centrada en p y de radio r > 0, tal que p \in B(p:r) \subset D \cap E. Es decir, que es posible encontrar un abierto común a los dominios de ambas que incluye al punto p. Diremos entonces que g es “o pequeña de f“, o “infinitamente pequeña en comparación con f” si y sólo si, podemos hallar una función \phi(x), definida en al menos la bola perforada B(p;r)-\{ p \} y tal que

g(x) = \phi(x) f(x), \quad \forall x \in B(p;r)-\{ p \}
\lim_{x \rightarrow p} \phi(x) = 0

Escribimos entonces g = o(f) cuando x tiende a p. Si además la función f(x) es no nula en la bola perforada, podemos reescribir las condiciones anteriores en la forma:

\lim_{x \rightarrow p} \frac{g(x)}{f(x)} = 0

Entendiendo entonces que \phi(x) =  \frac{g(x)}{f(x)} (esto nos permite obviar la búsqueda de una tal función \phi). Un caso especialmente interesante es cuando f(x)=1 (la función constante igual a 1. Entonces, afirmar que g=o(1) cuando x \rightarrow p equivale a

\lim_{x \rightarrow p} \frac{g(x)}{1} = \lim_{x \rightarrow p}g(x) = 0

y decimos que g es “infinitamente pequeña”. La notación “o pequeña” todavía da más de sí. En efecto, diremos que dos funciones f y g son equivalentes cuando x tiende a p si y sólo si g(x) = f(x) + o(f(x)). El lector puede comprobar que esta definición es equivalente a la corriente basada en:

\lim_{x \rightarrow p} \frac{g(x)}{f(x)} = 1

Para acabar, diremos que una función g está acotada en comparación con otra f si x tiende a p, cuando existen una bola perforada B(p:r)- \{p \} y una constante C, tales que

|g(x)| \leq C |f(x)|, x \in B(p:r)- \{p \}

Escribimos entonces g=O(f), x \rightarrow p. Si g=O(f), x \rightarrow p y también f=O(g), x \rightarrow p, decimos entonces que f y g son del mismo grado. Sugerimos al lector que compruebe que cuando g=O(1), x \rightarrow p, entonces existe un entorno de p donde g está acotada.

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