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La insoportable levedad del infinito

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El concepto del infinito está presente en la matemática casi desde su comienzo. Pero no hemos de equivocarnos, no se trata de el “infinito” en un sentido filosófico pleno, sino de “un” o “unos” infinitos perfectamente delimitados y “domesticados”. De nada vale hacer disquisiciones sobre el infinito en matemáticas si no se entiende qué son y cómo se definen estos “infinitos”. Seguramente, el lector pensará en el conjunto de los números naturales como primer ejemplo de conjunto infinito. Esto es casi cierto. En realidad, el conjunto de los números naturales es el ejemplo más claro de conjunto inductivo y es justamente la existencia de conjuntos inductivos algo que no podemos probar sino creer, es decir, se establece como axioma. Veamos con detalle cómo se hace dentro de la teoría de NBG (Neumann-Bernays-Gödel). Sea una clase, se dice que la clase es la clase siguiente de . Los diversos axiomas de esta teoría nos permiten garantizar que la clase siguiente de un conjunto es también un conjunto. Esto nos da pie a otra definición:

Una clase es inductiva si contiene al conjunto vacío y para todo conjunto el conjunto siguiente también un elemento de .

Veamos con detalle esta definición. Estamos diciendo que una clase es inductiva si el conjunto vacío es uno de sus elementos y siempre que otro conjunto sea elemento suyo, podemos asegurar que también lo es. Aquí está el “germen” del infinito, en el hecho de tener “siempre” (si nos ponemos a pensar esta palabra es muy especial) la posibilidad de añadir elemento tras elemento sin nunca terminar. Si tomamos la clase

de todos los conjuntos inductivos, ¿es o no vacía? Es decir, ¿existe algún conjunto inductivo? Pues bien, no lo podemos asegurar, hemos de dar un axioma:

Existe al menos un conjunto inductivo

El lector se preguntará…¿dónde están los naturales? Pues es bien sencillo. Una vez hemos considerado no vacía la clase de todos los conjuntos inductivos, definimos el conjunto de los naturales como la intersección de todos los conjuntos de dicha clase. Esto es:
. Esta intersección (o gran intersección) existe en virtud de otro axioma de NBG. Ahora, hacemos lo siguiente, identificamos el con , el con el siguiente de () y así sucesivamente y ya tenemos los naturales , (he incluido el cero dentro de los naturales siguiendo un consenso establecido pero lo mismo podría haber empezado por 1 o por el que hubiera querido, al fin y al cabo, lo que los distingue es su carácter inductivo y eso no depende del símbolo usado). Los puntos suspensivos aquí tienen el carácter de indicarnos que esto no acaba, que al ser inductivo hay un siguiente al 3 y un siguiente al siguiente al 3 y así sucesivamente. Reflexionemos un poco. Ya tenemos un conjunto que es infinito en un sentido determinado y que además nos parece bastante “razonable”. Pero, ¿realmente existe este conjunto? No puedo dar una respuesta. Para mí, existe en el universo de las matemáticas y esa existencia está justificada en él. Para el lector quizás no existe nada más que en la mente de los matemáticos..pero ¿qué hay algo fuera de nuestra mente? Eso es otra gran pregunta.

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