MATEMATICAS.NET

Curso EVT. Lectura 28. Topología (3)

Anuncios

Consideremos dos espacios topológicos y . Vamos a definir una topología sobre el conjunto producto utilizando como base la colección de los conjuntos , donde es un abierto de y es un abierto de . En efecto, recordemos que las condiciones para que una colección de subconjuntos de un conjunto dado sea una base de una topología son: (1) Para cada elemento del conjunto existe un elemento de la base que lo contiene. (2) Para cada elemento de la intersección de dos conjuntos de la colección existe un tercer elemento de la misma colección que lo contiene y está contenido en dicha intersección. La primera condición es inmediata pues el conjunto es un elemento de y . Para la condición (2) recordamos que

.

De esta manera, si y son elementos de , entonces es también un elemento de pues la intersección finita de abiertos es un abierto.

Podemos aprovechar las bases existentes de una topología en cada conjunto para definir de una manera equivalente la topología producto. De esta manera, si es una base de la topología de y es una base de la topología de , la clase es una base para la topología producto. La demostración es sencilla pues si es un elemento de un abierto de la topología producto, hallaremos , abierto de y , abierto de , tales que y para dichos existen y , de forma que . Esto prueba que todo abierto de la topología producto es unión de conjuntos de la forma .

Una definición importante es la de conjunto cerrado. Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado si su complementario es un abierto de .

Utilizando las propiedades ya dadas para los conjuntos abiertos podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea un espacio topológico y sea la colección de todos los cerrados definidos por la topología . Entonces, se tiene que
(a) El vacío y el propio pertenecen a .
(b).La intersección arbitraria de elementos de pertenece a .
(c). Si y son cerrados, entonces es cerrado.

Prueba. Como es abierto, tenemos que es cerrado. Análogamente, es abierto, por lo que es cerrado. Esto prueba (a). Sea una familia arbitraria de cerrados. La familia está formada por abiertos y, en consecuencia, de la igualdad

se sigue que es cerrado. Esto prueba (b). Finalmente, sean y dos cerrados. Entonces y son abiertos, por lo que es un abierto. Esto significa que es cerrado.

Anuncios