Curso EVT. Lectura 28. Topología (3)

Consideremos dos espacios topológicos (E,T) y (F,S). Vamos a definir una topología sobre el conjunto producto E \times F utilizando como base la colección \mathcal{G} de los conjuntos U \times V, donde U es un abierto de E y V es un abierto de F. En efecto, recordemos que las condiciones para que una colección de subconjuntos de un conjunto dado sea una base de una topología son: (1) Para cada elemento del conjunto existe un elemento de la base que lo contiene. (2) Para cada elemento de la intersección de dos conjuntos de la colección existe un tercer elemento de la misma colección que lo contiene y está contenido en dicha intersección. La primera condición es inmediata pues el conjunto E \times F es un elemento de \mathcal{G} y (x,y) \in E \times F. Para la condición (2) recordamos que

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \times C) \cap (B \times D).

De esta manera, si U_1 \times V_1 y U_2 \times V_2 son elementos de \mathcal{G}, entonces (U_1 \times V_1) \times (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2) es también un elemento de \mathcal{G} pues la intersección finita de abiertos es un abierto.

Podemos aprovechar las bases existentes de una topología en cada conjunto para definir de una manera equivalente la topología producto. De esta manera, si \mathcal{B} es una base de la topología de E y \mathcal{B}' es una base de la topología de F, la clase \mathcal{B} \times \mathcal{B}' es una base para la topología producto. La demostración es sencilla pues si (x,y) es un elemento de un abierto A de la topología producto, hallaremos U, abierto de E y V, abierto de F, tales que (x,y) \in U \times V \subset A y para dichos U,V existen B \in \mathcal{B} y B' \in \mathcal{B}', de forma que (x,y) \in B \times B' \subset U \times V \subset A. Esto prueba que todo abierto de la topología producto es unión de conjuntos de la forma B \times B'.

Una definición importante es la de conjunto cerrado. Un subconjunto C de un espacio topológico (X, \mathcal{T}) es cerrado si su complementario X-C es un abierto de \mathcal{T}.

Utilizando las propiedades ya dadas para los conjuntos abiertos podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico y sea \mathcal{C} la colección de todos los cerrados definidos por la topología \mathcal{T}. Entonces, se tiene que
(a) El vacío y el propio X pertenecen a \mathcal{C}.
(b).La intersección arbitraria de elementos de \mathcal{C} pertenece a \mathcal{C}.
(c). Si C y C' son cerrados, entonces C \cup C' es cerrado.

Prueba. Como \emptyset es abierto, tenemos que X- \emptyset = X es cerrado. Análogamente, X es abierto, por lo que X-X = \emptyset es cerrado. Esto prueba (a). Sea (C_{i})_{i \in I} una familia arbitraria de cerrados. La familia (X-C_{i})_{i \in I} está formada por abiertos y, en consecuencia, de la igualdad

X -\cap_{i \in I} C_{i} = \cup_{i \in I} (X-C_{i})

se sigue que \cap_{i \in I} C_{i} es cerrado. Esto prueba (b). Finalmente, sean C y C' dos cerrados. Entonces X-C y X-C' son abiertos, por lo que (X-C) \cup (X-C') = X- (C \cap C') es un abierto. Esto significa que C \cap C' es cerrado.

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